Deux fonctions qui oscillent

Stratégie : pour la non-existence, deux suites bien choisies ; pour l'existence, une majoration.

1) $\cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$. La caractérisation séquentielle se lit par contraposée : s'il existe deux suites tendant vers $0$ dont les images ont des limites différentes, la fonction n'a pas de limite en $0$. Il suffit donc de choisir les suites qui rendent le cosinus constant. Posons, pour $n\ge 1$,

$$x_n=\frac{1}{2n\pi }\text{et}{y}_n=\frac{1}{(2n+1)\pi }.$$

Ces deux suites sont à valeurs non nulles et tendent vers $0$. Et

$$\cos \frac{1}{x_n}=\cos (2n\pi )=1⟶1,\cos \frac{1}{y_n}=\cos ((2n+1)\pi )=-1⟶-1.$$

Les deux limites diffèrent : $\cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$.

⚠️ On choisit les suites pour que l'image soit constante, pas seulement proche. C'est ce qui rend le calcul de la limite immédiat et l'argument imparable. Et il faut vérifier que ces suites tendent bien vers $0$ en restant dans le domaine — ici, en évitant $0$ lui-même.

2) $x\cos \frac{1}{x}$ tend vers $0$ en $0$. Le cosinus est borné : $\left|\cos \frac{1}{x}\right|\le 1$ pour tout $x\ne 0$. Donc

$$\left|x\cos \frac{1}{x}-0\right|\le |x|.$$

Le majorant $|x|$ tend vers $0$ quand $x\to 0$ : par le théorème d'encadrement, $x\cos \frac{1}{x}⟶0$. (La fonction se prolonge donc par continuité en $0$, en lui donnant la valeur $0$.)

⚠️ Rien n'a été « calmé » dans l'oscillation : $\cos \frac{1}{x}$ oscille exactement autant entre $1$ et $-1$, aussi près de $0$ qu'on veut. C'est le facteur $x$ qui écrase l'amplitude. Le produit d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle a pour limite $0$ — même si la première n'a aucune limite.

Contrôles numériques. Pour $n=1$ : $x_1=\frac{1}{2\pi }\approx 0,159$ et $\cos \frac{1}{x_1}=\cos (2\pi )=1$ ; $y_1=\frac{1}{3\pi }\approx 0,106$ et $\cos \frac{1}{y_1}=\cos (3\pi )=-1$. Pour $n=10^6$, les deux abscisses valent moins de $10^{-6}$ et les images valent toujours exactement $1$ et $-1$. ✔ La majoration $\left|x\cos \frac{1}{x}\right|\le |x|$ a été vérifiée pour $x=10^{-1},10^{-2},\dots ,10^{-8}$. ✔

Ce que l'exercice installe. La caractérisation séquentielle a deux emplois opposés : transférer aux fonctions les théorèmes sur les suites, et réfuter une limite en exhibant deux suites. Et l'on retiendra le couple de fonctions : $\cos \frac{1}{x}$, l'oscillation pure sans limite ; $x\cos \frac{1}{x}$, la même oscillation amortie, qui converge. On les retrouvera au chapitre de la dérivabilité, avec $x^2\sin \frac{1}{x}$.