EAF et encadrement du logarithme

Limites, continuité, dérivabilité · D. Rolle, accroissements finis · niveau 2

Énoncé

À l'aide de l'égalité des accroissements finis, montrer que pour tout $n \in N^{*}$ :

$\frac{1}{n + 1} < ln (n + 1) - ln n < \frac{1}{n},$

et en déduire que $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \to + \infty$ .

Corrigé

Appliquons l'EAF à $ln$ sur $[n, n + 1]$ : il existe $c \in] n, n + 1 [$ tel que

$ln (n + 1) - ln n = \frac{1}{c}, et \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n} .$

En sommant les inégalités de gauche pour $k = 1, \dots, n$ , le membre central se télescope :

$H_{n} > k = 1 \sum n (ln (k + 1) - ln k) = ln (n + 1) n \to \infty + \infty,$

donc $H_{n} \to + \infty$ par minoration — nouvelle preuve, quantitative, de la divergence de la série harmonique : $H_{n}$ croît comme $ln n$ (l'autre inégalité donne $H_{n} \leq 1 + ln n$ ).

Énoncé

Corrigé

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