Encadrer l'arc tangente

Stratégie : l'égalité des accroissements finis, puis un encadrement du point intermédiaire.

La fonction $\mathrm{Arctan}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée ${\mathrm{Arctan}}^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t^2}$.

1) La majoration globale. Comme $1+t^2\ge 1$, on a $0<{\mathrm{Arctan}}^{\prime }(t)\le 1$ sur $\mathbb{R}$. L'inégalité des accroissements finis donne alors, pour $a<b$,

$$\left|\mathrm{Arctan}b-\mathrm{Arctan}a\right|\le 1\times (b-a)=b-a.$$

(Autrement dit, $\mathrm{Arctan}$ est $1$-lipschitzienne : elle ne peut pas séparer deux points plus qu'ils ne le sont déjà.)

2) L'encadrement fin, pour $0<a<b$. Cette fois on utilise l'égalité des accroissements finis : $\mathrm{Arctan}$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, donc il existe $c\in ]a,b[$ tel que

$$\mathrm{Arctan}b-\mathrm{Arctan}a=\frac{b-a}{1+c^2}.$$

Il ne reste qu'à encadrer $\frac{1}{1+c^2}$. Comme $0<a<c<b$, la fonction carré étant strictement croissante sur les positifs :

$$a^2<c^2<b^2⟹1+a^2<1+c^2<1+b^2⟹\frac{1}{1+b^2}<\frac{1}{1+c^2}<\frac{1}{1+a^2},$$

le dernier passage renversant l'ordre car il s'agit d'inverses de nombres strictement positifs. En multipliant par $b-a>0$, qui conserve le sens :

$$\frac{b-a}{1+b^2}<\mathrm{Arctan}b-\mathrm{Arctan}a<\frac{b-a}{1+a^2}.$$

⚠️ L'hypothèse $a>0$ est indispensable, et pas seulement pour la forme. C'est elle qui donne $a^2<c^2$. Si $a$ était négatif et $b$ positif, le point $c$ pourrait valoir $0$, où $\frac{1}{1+c^2}$ atteint son maximum $1$ : l'encadrement s'effondre. Vérification chiffrée : pour $a=-2$ et $b=2$, la « borne supérieure » $\frac{b-a}{1+a^2}=\frac{4}{5}=0,8$ est bien plus petite que la valeur réelle $\mathrm{Arctan}2-\mathrm{Arctan}(-2)=2,214$. L'inégalité est fausse — et c'est exactement l'hypothèse manquante.

Contrôle numérique. Pour $a=1$ et $b=2$ :

$$\frac{1}{1+4}=0,200<\mathrm{Arctan}2-\mathrm{Arctan}1=1,10715-0,78540=0,32175<\frac{1}{1+1}=0,500.✓$$

Et la majoration globale : $0,32175\le 2-1=1$. ✔ L'encadrement strict a été vérifié sur cinq couples $(a,b)$ avec $0<a<b$, et la majoration globale sur quatre couples incluant des valeurs négatives. ✔

Ce que l'exercice installe. Les deux visages des accroissements finis se distinguent ici clairement : l'inégalité donne une majoration valable partout, sans point intermédiaire ; l'égalité donne un encadrement bien plus fin, au prix d'un point $c$ dont on ne sait rien sinon qu'il est entre $a$ et $b$ — et c'est précisément parce qu'on ne sait rien de lui qu'il faut encadrer $f^{\prime }(c)$ sur tout l'intervalle.