L'équation de Cauchy : la continuité suffit

La stratégie. Deux étages. L'étage algébrique : l'équation seule détermine $f$ sur les entiers, puis sur les rationnels, sans aucune hypothèse de régularité. L'étage analytique : on approche $x$ par ses valeurs décimales, qui sont rationnelles, et la continuité propage la formule — en un seul point à la fois.

a) Sur les entiers. Avec $x=y=0$ : $f(0)=f(0)+f(0)$, donc $f(0)=0$. Avec $y=-x$ : $0=f(0)=f(x)+f(-x)$, donc $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire.

Pour $n\in \mathbb{N}$, montrons par récurrence que $f(nx)=nf(x)$. C'est vrai pour $n=0$, puisque $f(0)=0$. Si c'est vrai au rang $n$, alors $$f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x).$$ Pour $n$ entier négatif, écrivons $n=-m$ avec $m\in \mathbb{N}$ : par imparité, $f(nx)=-f(mx)=-mf(x)=nf(x)$.

b) Sur les rationnels. Soit $r=\frac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. D'une part, par le a) avec l'entier $q$ et le réel $r$ : $f(qr)=qf(r)$. D'autre part, $qr=p\times 1$, donc par le a) avec l'entier $p$ et le réel $1$ : $f(qr)=pa$. Ainsi $qf(r)=pa$, et comme $q\ne 0$, $$f(r)=a\frac{p}{q}=ar.$$ Sur les rationnels, $f$ coïncide avec la fonction linéaire $x\mapsto ax$ — sans aucune hypothèse de continuité.

c) Des rationnels aux réels, par les décimaux. Le nombre $d_n$ est le quotient de l'entier $\lfloor 10^{n}x\rfloor$ par l'entier non nul $10^n$ : c'est un rationnel. La définition de la partie entière donne $\lfloor 10^{n}x\rfloor \le 10^{n}x<\lfloor 10^{n}x\rfloor +1$, et en divisant par $10^n>0$, $$x-10^{-n}<d_n\le x.$$ Par encadrement, $d_n\to x$ : c'est la proposition du cours sur les valeurs décimales approchées, et l'énoncé qui l'accompagne — tout réel est limite d'une suite de rationnels.

Comme $f$ est continue en $x$, la caractérisation séquentielle de la continuité donne $f(d_n)\to f(x)$. Mais $d_n$ est rationnel, donc $f(d_n)=a{d}_n$ par le b), et $a{d}_n\to ax$. Par unicité de la limite, $$f(x)=ax.$$ Réciproquement, toute fonction $x\mapsto ax$ est continue et vérifie l'équation. Les solutions continues de l'équation de Cauchy sont exactement les fonctions linéaires $x\mapsto ax$, $a\in \mathbb{R}$.

Le point délicat. La continuité a servi en un seul endroit — pour écrire $f(d_n)\to f(x)$ — et au seul point $x$ : pour connaître la valeur de $f$ en $x$, on n'a utilisé que la continuité de $f$ en $x$. C'est ce qui rend possible la question suivante.

d) La continuité en $0$ suffit. Supposons $f$ continue en $0$ seulement, et soit $x_0\in \mathbb{R}$. Soit $(x_n)$ une suite de réels de limite $x_0$. Alors $x_n-x_0\to 0$, et la continuité en $0$ donne $f(x_n-x_0)\to f(0)=0$. Or l'équation fournit $$f(x_n)=f(x_0+(x_n-x_0))=f(x_0)+f(x_n-x_0)⟶f(x_0).$$ Ceci valant pour toute suite de limite $x_0$, la caractérisation séquentielle montre que $f$ est continue en $x_0$. Ainsi $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et le c) s'applique : $f(x)=ax$. L'équation transporte la continuité d'un point à tous les autres.

e) L'équation multiplicative. Soit $g$ continue, non identiquement nulle, telle que $g(x+y)=g(x)g(y)$ pour tous $x,y$.

$g$ est strictement positive. Pour tout réel $x$, $g(x)=g\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=g{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$. Si $g$ s'annulait en un point $x_0$, alors pour tout réel $x$, $g(x)=g(x_0+(x-x_0))=g(x_0)g(x-x_0)=0$, et $g$ serait identiquement nulle, ce qui est exclu. Donc $g(x)>0$ pour tout $x$.

Retour au cas additif. On peut donc poser $h=\ln \circ g$, continue comme composée de fonctions continues, et $$h(x+y)=\ln (g(x)g(y))=\ln g(x)+\ln g(y)=h(x)+h(y).$$ Par le c), il existe un réel $a$ tel que $h(x)=ax$ pour tout $x$, c'est-à-dire $g(x)=e^{ax}$. Réciproquement, chaque fonction $x\mapsto e^{ax}$ est continue, non nulle, et transforme les sommes en produits. Les solutions sont exactement les fonctions $x\mapsto e^{ax}$, $a\in \mathbb{R}$.

La comparaison. Le problème du TD 4 obtenait la même conclusion pour une fonction dérivable, en dérivant l'équation par rapport à $y$ pour tomber sur l'équation différentielle $g^{\prime }=g^{\prime }(0)g$. Ici, la seule continuité suffit : l'étage algébrique fait l'essentiel du travail, la continuité comble les trous entre les décimaux.

Ce que l'exercice installe. Le principe « rationnels, puis continuité » : une fonction continue est déterminée par ses valeurs aux décimaux. En physique, c'est la raison pour laquelle une grandeur additive et continue est proportionnelle : la masse d'un fil homogène vérifie $m(L_1+L_2)=m(L_1)+m(L_2)$, ce qui en fait un multiple de la longueur, $m=\lambda L$, où $\lambda$ est la masse linéique. (Il existe des solutions non continues de l'équation de Cauchy ; leur construction est hors programme, et elles sont d'une irrégularité extrême.)