L'usine à inégalités de la convexité

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PCSI), chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité · F. Convexité

Énoncé

Par position du graphe par rapport à une tangente bien choisie, montrer :

$\forall x \in R, e^{x} \geq 1 + x et \forall x > 0, ln x \leq x - 1.$

Par la définition de la concavité (avec $λ = \frac{1}{2}$ ), montrer l'inégalité arithmético-géométrique pour deux réels : pour tous $a, b > 0$ ,

$ab \leq \frac{a + b}{2} .$

Corrigé

$exp$ est convexe sur $R$ ( $exp^{''} = exp > 0$ ) : son graphe est au-dessus de sa tangente en $0$ , d'équation $y = e^{0} + e^{0} (x - 0) = 1 + x$ , d'où $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x$ . De même, $ln$ est concave sur $R_{+}^{*}$ ( $ln^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ ) : son graphe est au-dessous de sa tangente en $1$ , d'équation $y = ln 1 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1$ , d'où $ln x \leq x - 1$ . (Les deux inégalités sont d'ailleurs équivalentes par le changement de variable $x \leftrightarrow ln x$ .)

La concavité de $ln$ , écrite avec les deux points $a$ et $b$ et le poids $λ = \frac{1}{2}$ (c'est exactement la définition, inégalité renversée), donne :

$ln (\frac{a + b}{2}) \geq \frac{ln a + ln b}{2} = ln (ab) .$

Comme $exp$ est croissante, on peut « passer à l'exponentielle » sans changer le sens : $\frac{a + b}{2} \geq ab$ . Géométriquement : le milieu de la corde joignant $(a, ln a)$ à $(b, ln b)$ est au-dessous du graphe de $ln$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.