mathématiques (PCSI) · Chapitre 6 · Application directe du cours

L'usine à inégalités de la convexité

Limites, continuité, dérivabilité · F. Convexité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Par position du graphe par rapport à une tangente bien choisie, montrer :

$\forall x \in R, e^{x} \geq 1 + x et \forall x > 0, ln x \leq x - 1.$

Par la définition de la concavité (avec $λ = \frac{1}{2}$ ), montrer l'inégalité arithmético-géométrique pour deux réels : pour tous $a, b > 0$ ,

$ab \leq \frac{a + b}{2} .$

Corrigé de la question 1

$exp$ est convexe sur $R$ ( $exp^{''} = exp > 0$ ) : son graphe est au-dessus de sa tangente en $0$ , d'équation $y = e^{0} + e^{0} (x - 0) = 1 + x$ , d'où $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x$ . De même, $ln$ est concave sur $R_{+}^{*}$ ( $ln^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ ) : son graphe est au-dessous de sa tangente en $1$ , d'équation $y = ln 1 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1$ , d'où $ln x \leq x - 1$ . (Les deux inégalités sont d'ailleurs équivalentes par le changement de variable $x \leftrightarrow ln x$ .)

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Par la définition de la concavité (avec $λ = \frac{1}{2}$ ), montrer l'inégalité arithmético-géométrique pour deux réels : pour tous $a, b > 0$ ,

$ab \leq \frac{a + b}{2} .$

Élève

Pour le 2, j'ai essayé avec la concavité de la racine carrée : $\frac{a + b}{2} \geq \frac{a + b}{2}$ . Mais cela ne fait jamais apparaître $ab$ .

Avec $λ = \frac{1}{2}$ , la définition fait toujours apparaître une moyenne arithmétique des images. Par quelle fonction faudrait-il transformer $ab$ pour qu'il devienne, lui aussi, une moyenne arithmétique de deux images ?

Élève

Par le logarithme : $ln ab$ est la moyenne de $ln a$ et $ln b$ . Et le logarithme est bien concave sur $R_{+}^{*}$ .

C'est cela. Écris la définition de la concavité de $ln$ aux points $a$ et $b$ avec $λ = \frac{1}{2}$ : quelle inégalité obtiens-tu entre logarithmes, et quelle propriété de l'exponentielle te permet de revenir aux nombres eux-mêmes ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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