La méthode de Newton

Limites, continuité, dérivabilité · E. Suites récurrentes et méthodes numériques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On cherche à résoudre $f (x) = 0$ pour $f (x) = x^{3} - 2$ (calcul de $32$ ).

Écrire l'itération de Newton $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ pour cette fonction.
Calculer $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ à partir de $x_{0} = 1$ et comparer à $32 \approx 1, 259921$ .

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} - 2}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2 x _{n}^{3} + 2}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{2}{3 x _{n}^{2}} :$

on « moyenne » $x_{n}$ (deux fois) et $\frac{2}{x _{n}^{2}}$ (une fois) — généralisation directe de la méthode de Héron.

$x_{0} = 1$ ; $x_{1} = \frac{4}{3} \approx 1, 3333$ ; $x_{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} + \frac{2}{3 \cdot 16/9} = \frac{8}{9} + \frac{3}{8} = \frac{91}{72} \approx 1, 2639$ ; $x_{3} \approx 1, 259933$ . Les erreurs successives valent environ $7 \cdot 1 0^{- 2}$ , $4 \cdot 1 0^{- 3}$ , $1, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ : chaque itération double (environ) le nombre de décimales exactes — la signature de la convergence quadratique de Newton au voisinage d'une racine simple.