Le mouvement circulaire : Rolle tombe en défaut dans les complexes

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Une fonction à valeurs complexes a une limite en un point si et seulement si ses parties réelle et imaginaire en ont une ; elle est dérivable si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont, et alors $f^{\prime }=(\mathrm{Re}f{)}^{\prime }+i(\mathrm{Im}f{)}^{\prime }$.

La stratégie. Réfuter par un exemple, puis dire pourquoi la démonstration réelle ne se transporte pas, et ce qui survit au passage aux complexes.

a) La dérivée de $e^{it}$. Pour $t\ne 0$, $$\frac{f(t)-1}{t}=\frac{\cos t-1}{t}+i\frac{\sin t}{t}.$$ On reconnaît deux taux d'accroissement en $0$ : $\frac{\cos t-\cos 0}{t-0}\to -\sin 0=0$ et $\frac{\sin t-\sin 0}{t-0}\to \cos 0=1$. Par la caractérisation par les parties réelle et imaginaire, $\frac{f(t)-1}{t}\to i$ : $f^{\prime }(0)=i$. En un réel $t$ quelconque, $e^{i(t+s)}=e^{it}{e}^{is}$ donne $$\frac{f(t+s)-f(t)}{s}=e^{it}\frac{e^{is}-1}{s}\underset{s\to 0}{\to }i{e}^{it}.$$ Donc $f^{\prime }(t)=i{e}^{it}$, et $|f^{\prime }(t)|=|i|\left|e^{it}\right|=1$.

b) Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux. $f(0)=1=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =f(2\pi )$. La fonction est continue sur $[0,2\pi ]$ et dérivable — toutes les hypothèses de Rolle sont vérifiées — et pourtant $|f^{\prime }(t)|=1$ : $f^{\prime }$ ne s'annule jamais. De même, $f(\pi )-f(0)=-1-1=-2$ est de module $2$, alors que $|\pi f^{\prime }(c)|=\pi$ pour tout $c$ : aucun $c$ ne convient, puisque $\pi \ne 2$. Le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux pour les fonctions à valeurs complexes.

Où la démonstration échoue. La preuve du théorème de Rolle commence par : « $f$, continue sur un segment, atteint son maximum ». Or un maximum suppose une relation d'ordre sur les valeurs, et $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné. Concrètement, Rolle s'applique à la partie réelle, $\cos$, dont la dérivée s'annule en $\pi$, et à la partie imaginaire, $\sin$, dont la dérivée s'annule en $\frac{\pi }{2}$ — mais en des points différents, et $f^{\prime }$ ne s'annulerait que là où les deux s'annulent en même temps.

c) La vitesse est orthogonale au rayon. Écrivons $g=u+iv$, avec $u$ et $v$ réelles et dérivables. Alors $|g{|}^2=u^2+v^2$ a pour dérivée $2(u{u}^{\prime }+v{v}^{\prime })$, et $$\overline{g}{g}^{\prime }=(u-iv)(u^{\prime }+i{v}^{\prime })=(u{u}^{\prime }+v{v}^{\prime })+i(u{v}^{\prime }-v{u}^{\prime }),$$ de sorte que $(|g{|}^2{)}^{\prime }=2\mathrm{Re}\left(\overline{g}{g}^{\prime }\right)$. Sur l'intervalle $I$, une fonction réelle dérivable est constante si et seulement si sa dérivée est nulle : $|g{|}^2$ est constante si et seulement si $\mathrm{Re}\left(\overline{g}{g}^{\prime }\right)=0$ sur $I$ ; et $|g|$, positive, est constante si et seulement si $|g{|}^2$ l'est. L'équivalence est établie.

L'interprétation. Pour $z=x+iy$ et $w=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$, $\mathrm{Re}(\overline{z}w)=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$ est le produit scalaire des vecteurs qu'ils représentent. Pour un mobile d'affixe $g(t)$, $g^{\prime }(t)$ est l'affixe du vecteur vitesse : le mobile reste sur un cercle centré à l'origine si et seulement si sa vitesse est à chaque instant orthogonale à son vecteur position. Pour $e^{it}$, $\overline{f}{f}^{\prime }=i$ : le point tourne à vitesse de module $1$ et revient à son point de départ sans jamais s'arrêter — ce que Rolle interdirait à une fonction réelle.

d) La corde est plus courte que l'arc. Factorisons par l'exponentielle de l'angle moyen : $$e^{ib}-e^{ia}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left(e^{i\frac{b-a}{2}}-e^{-i\frac{b-a}{2}}\right)=e^{i\frac{a+b}{2}}\cdot 2i\sin \frac{b-a}{2},$$ par la formule d'Euler. Le premier facteur est de module $1$ et $|2i|=2$, donc $$\left|e^{ib}-e^{ia}\right|=2\left|\sin \frac{b-a}{2}\right|\le 2\cdot \frac{|b-a|}{2}=|b-a|,$$ par l'inégalité $|\sin u|\le |u|$ : le sinus est $1$-lipschitzien par l'inégalité des accroissements finis réelle, puisque $|\cos |\le 1$, et il s'annule en $0$. C'est bien $|f(b)-f(a)|\le K|b-a|$ avec $K=1$, borne de $|f^{\prime }|$. Géométriquement : $2\left|\sin \frac{b-a}{2}\right|$ est la longueur de la corde du cercle unité joignant les positions aux instants $a$ et $b$, et $|b-a|$ la longueur du chemin parcouru : la corde est plus courte que l'arc.

Ce que l'exercice installe. La frontière exacte entre le réel et le complexe : ce qui relève des opérations et des modules se transporte — dérivation, limites, inégalité des accroissements finis ; ce qui relève de l'ordre ne se transporte pas — Rolle, égalité des accroissements finis, valeurs intermédiaires. En physique, c'est la cinématique du mouvement circulaire — vitesse orthoradiale, perpendiculaire au rayon — et la notation complexe des grandeurs sinusoïdales, où $e^{i\omega t}$ tourne sans fin sur le cercle unité.