Le théorème de Darboux

Stratégie : transformer « atteindre la valeur $y$ » en « annuler une dérivée », puis localiser un minimum en écartant les deux extrémités.

1) La fonction auxiliaire. Posons $g(x)=f(x)-yx$ sur $[a,b]$. Elle est dérivable, donc continue, et

$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-y,\text{en particulier}{g}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-y<0,g^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)-y>0.$$

Chercher $c$ avec $f^{\prime }(c)=y$ revient à chercher un zéro de $g^{\prime }$.

2) Le minimum existe. $g$ est continue sur le segment $[a,b]$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y atteint son minimum en un point $c\in [a,b]$.

3) Le minimum n'est pas en $a$. Comme $g^{\prime }(a)<0$, le taux d'accroissement $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ tend vers une limite strictement négative quand $x\to a$. Par conservation du signe, il existe donc des $x>a$, aussi proches de $a$ qu'on veut, pour lesquels ce taux est strictement négatif ; comme $x-a>0$, cela donne

$$g(x)<g(a).$$

Le point $a$ n'est donc pas un minimum de $g$ : $c\ne a$.

4) Le minimum n'est pas en $b$. Symétriquement, $g^{\prime }(b)>0$ donne des $x<b$ proches de $b$ pour lesquels $\frac{g(x)-g(b)}{x-b}>0$ ; ici $x-b<0$, donc $g(x)-g(b)<0$, soit encore $g(x)<g(b)$. Donc $c\ne b$.

5) Conclusion. Le point $c$ appartient à $]a,b[$ : c'est un point intérieur où $g$, dérivable, admet un minimum. La condition nécessaire d'extremum local donne $g^{\prime }(c)=0$, c'est-à-dire

$$\boxed{f^{\prime }(c)=y.}$$

(Le cas $f^{\prime }(b)<y<f^{\prime }(a)$ se traite de même, en cherchant un maximum au lieu d'un minimum — ou en appliquant ce qui précède à $-f$.)

⚠️ Le point délicat est qu'on n'utilise jamais la continuité de $f^{\prime }$ — on ne l'a pas. Ce qui remplace la continuité, ce sont les étapes 3 et 4 : la seule valeur de $g^{\prime }$ en $a$ et en $b$ suffit à décider que $g$ descend juste après $a$ et remonte juste avant $b$. C'est la conservation du signe appliquée au taux d'accroissement, et non à la dérivée.

⚠️ Attention à ne pas confondre avec le TVI appliqué à $f^{\prime }$ : celui-ci exigerait la continuité de $f^{\prime }$, dont on ne dispose pas. Tout l'intérêt du théorème est là.

Contrôle sur un exemple où $f^{\prime }$ n'est vraiment pas continue. Reprenons la fonction $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ pour $x\ne 0$, $f(0)=0$, déjà rencontrée dans ce TD : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f^{\prime }(0)=0$ et $f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ pour $x\ne 0$. La dérivée n'a pas de limite en $0$. Le calcul numérique sur cent vingt points pris entre $10^{-6}$ et $10^{-1}$ donne des valeurs de $f^{\prime }$ allant de $-1,04$ à $+1,33$ : arbitrairement près de $0$, $f^{\prime }$ prend toutes sortes de valeurs des deux signes. Elle n'a aucun saut, conformément à Darboux — alors qu'elle est discontinue. ✔

Ce que l'exercice installe. Une dérivée, même discontinue, ne peut pas sauter : elle prend toutes les valeurs intermédiaires. Conséquence immédiate et frappante : la fonction qui vaut $-1$ sur ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$, $0$ en $0$ et $+1$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ n'est la dérivée d'aucune fonction, puisqu'elle ne prend jamais la valeur $\frac{1}{2}$. Une discontinuité de première espèce est interdite aux dérivées.