Le théorème de Rolle compte les zéros

La stratégie. Entre deux zéros d'une fonction dérivable, le théorème de Rolle place un zéro de la dérivée : chaque dérivation fait perdre au plus un zéro. Donc si une dérivée d'ordre $k$ a peu de zéros, la fonction ne peut pas en avoir beaucoup.

a) Le polynôme et sa dérivée. Sur chaque segment $[x_i,x_{i+1}]$, pour $1\le i\le n-1$, $P$ est continu, dérivable, et $P(x_i)=P(x_{i+1})=0$ : le théorème de Rolle fournit $c_i\in \left]x_i,x_{i+1}\right[$ tel que $P^{\prime }(c_i)=0$. Les intervalles ouverts $\left]x_i,x_{i+1}\right[$ sont deux à deux disjoints, donc les $n-1$ réels $c_i$ sont distincts : $P^{\prime }$ a au moins $n-1$ racines réelles distinctes, et elles séparent celles de $P$.

b) Rolle itéré. Montrons par récurrence sur $j\in \{0,1,\dots ,k\}$ que $f^{(j)}$ s'annule en au moins $p-j$ points distincts de $I$. Pour $j=0$, c'est l'hypothèse. Supposons-le pour un $j\le k-1$, et notons $z_1<\cdots <z_{p-j}$ des zéros distincts de $f^{(j)}$ ; comme $j\le k-1$ et $p\ge k+1$, il y en a au moins deux. La fonction $f^{(j)}$ est dérivable sur $I$, puisque $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ et $j<k$ ; le théorème de Rolle, appliqué sur chacun des $p-j-1$ segments $[z_i,z_{i+1}]$, fournit des zéros de $f^{(j+1)}$ dans des intervalles ouverts deux à deux disjoints, donc distincts : $f^{(j+1)}$ s'annule en au moins $p-(j+1)$ points distincts. Pour $j=k$ : $f^{(k)}$ s'annule en au moins $p-k$ points distincts.

La conséquence. Supposons que $f^{(k)}$ s'annule au plus $m$ fois, et que $f$ s'annule en au moins $m+k+1$ points distincts. Comme $m+k+1\ge k+1$, ce qui précède donne à $f^{(k)}$ au moins $m+1$ zéros distincts : contradiction. $f$ s'annule au plus $m+k$ fois.

Le point délicat. La classe ${\mathcal{C}}^k$ sert à pouvoir appliquer Rolle à chacune des fonctions $f,f^{\prime },\dots ,f^{(k-1)}$, qui doivent être dérivables ; et Rolle ne s'applique qu'entre deux zéros : c'est pourquoi il en faut au moins deux à chaque étape, ce que garantit $p\ge k+1$.

c) L'exponentielle contre un trinôme. Posons $h(x)=e^x-a{x}^2-bx-c$, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée troisième est $h^{\prime \prime \prime }(x)=e^x$, qui ne s'annule jamais : avec $k=3$ et $m=0$, le b) montre que $h$ s'annule au plus trois fois, quels que soient $a$, $b$, $c$.

Pour $e^x=5x^2$, prenons $h(x)=e^x-5x^2$, continue. On calcule $h(-1)=e^{-1}-5\approx -4,63$, $h(0)=1$, $h(1)=e-5\approx -2,28$ et $h(5)=e^5-125\approx 23,4$. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit un zéro dans chacun des intervalles disjoints $\left]-1,0\right[$, $\left]0,1\right[$ et $\left]1,5\right[$ : $h$ a au moins trois zéros, donc exactement trois, voisins de $-0,371$, $0,605$ et $4,708$.

Le point délicat. Le troisième zéro est loin — $h(4)=e^4-80\approx -25,4$ est encore négatif — : une étude « à l'œil » près de l'origine le manquerait, et c'est le b) qui garantit qu'on les a tous.

d) Une famille d'équations polynomiales. Posons $g(x)=x^n+px+q$. Sa dérivée seconde, $g^{\prime \prime }(x)=n(n-1)x^{n-2}$, ne s'annule qu'en $0$ puisque $n-2\ge 1$ : avec $k=2$ et $m=1$, $g$ s'annule au plus trois fois. Si $n$ est pair, on regarde plutôt $g^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+p$ : l'exposant $n-1$ est impair, donc $x\mapsto x^{n-1}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et $g^{\prime }$ s'annule au plus une fois ; avec $k=1$ et $m=1$, $g$ s'annule au plus deux fois. Ces bornes sont atteintes : $x^5-5x+1$ vaut $-21$, $1$, $-3$ et $23$ en $-2$, $0$, $1$ et $2$, donc a trois racines réelles ; $x^4-5x+1$ vaut $1$, $-3$ et $7$ en $0$, $1$ et $2$, donc en a deux.

Ce que l'exercice installe. Le théorème de Rolle, itéré, compte les zéros : une dérivée $k$-ième qui s'annule au plus $m$ fois interdit à la fonction plus de $m+k$ zéros — de quoi dénombrer les solutions d'une équation qu'on ne sait pas résoudre. Et le a) — les racines de $P^{\prime }$ séparent celles de $P$ — est l'outil du problème du TD 8 sur les polynômes de Legendre.