Le théorème des cordes

La stratégie. Le schéma des théorèmes d'existence : une égalité à obtenir, puis une fonction auxiliaire dont elle est le zéro, puis le théorème des valeurs intermédiaires. L'ingrédient propre : deux valeurs de signes contraires trouvées sans en connaître aucune, par une somme télescopique nulle.

a) La corde de longueur un demi. Posons, pour $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$, $g(x)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)$, bien définie puisque $x+\frac{1}{2}\in \left[\frac{1}{2},1\right]$, et continue. On cherche un zéro de $g$.

On ignore le signe de $g(0)$ comme celui de $g\left(\frac{1}{2}\right)$, mais leur somme se télescope : $$g(0)+g\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0)+f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-f(0)=0,$$ grâce à l'hypothèse $f(0)=f(1)$ — c'est le seul endroit où elle sert. Si $g(0)=0$, $c=0$ convient. Sinon, $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)=-g(0)$ sont non nuls et de signes contraires, et le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $g$ continue sur $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, fournit $c$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f\left(c+\frac{1}{2}\right)=f(c)$.

Le point délicat. Le domaine de $g$ : on ne peut pas la définir sur $[0,1]$ entier, car $x+\frac{1}{2}$ sortirait du domaine de $f$. C'est le choix de $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ qui fait apparaître $f(1)$ au bord, donc l'hypothèse.

b) Les cordes de longueur un sur n. La fonction $g(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)$ est définie et continue sur $\left[0,1-\frac{1}{n}\right]$. Évaluons-la aux $n$ points $0,\frac{1}{n},\dots ,\frac{n-1}{n}$, qui appartiennent tous à cet intervalle, et additionnons : $$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right)=f(1)-f(0)=0,$$ par télescopage. Une somme de $n$ réels est nulle : ou bien l'un d'eux est nul, et le point correspondant convient ; ou bien ils sont tous non nuls, et ils ne peuvent pas être tous du même signe. Il existe alors deux indices $i<j$ tels que $g\left(\frac{i}{n}\right)$ et $g\left(\frac{j}{n}\right)$ soient de signes contraires, et le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $g$ sur $\left[\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right]$, fournit $c$ tel que $g(c)=0$. Pour tout entier $n\ge 2$, il existe une corde horizontale de longueur $\frac{1}{n}$.

Le point délicat. On ne connaît le signe d'aucune valeur de $g$, et l'on n'en a pas besoin : c'est un raisonnement global sur une somme, $f$ étant quelconque.

c) Le coureur. Notons $D(t)$ la distance parcourue, en kilomètres, à l'instant $t\in [0,50]$, en minutes : une fonction continue, avec $D(0)=0$ et $D(50)=10$. On retire le mouvement uniforme et l'on change d'échelle de temps : pour $s\in [0,1]$, $$F(s)=D(50s)-10s.$$ $F$ est continue, $F(0)=0$ et $F(1)=10-10=0$. Le b) avec $n=5$ fournit $c\in \left[0,\frac{4}{5}\right]$ tel que $F\left(c+\frac{1}{5}\right)=F(c)$, soit $D(50c+10)-10\left(c+\frac{1}{5}\right)=D(50c)-10c$, c'est-à-dire $$D(50c+10)-D(50c)=2.$$ Entre les instants $50c$ et $50c+10$, le coureur parcourt exactement $2$ km. Rien ne garantit, en revanche, $4$ km en $20$ minutes : c'est la question suivante, avec $\alpha =0,4$.

d) Les autres longueurs échouent. La fonction $f$ est continue sur $[0,1]$, et $f(0)={\sin }^{2}0-0=0$, $f(1)={\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)-{\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=0$. Pour $x\in [0,1-\alpha ]$, $$f(x+\alpha )-f(x)={\sin }^2\left(\frac{\pi x}{\alpha }+\pi \right)-{\sin }^2\left(\frac{\pi x}{\alpha }\right)-\alpha {\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right).$$ Comme $\sin (t+\pi )=-\sin t$, on a ${\sin }^2(t+\pi )={\sin }^{2}t$ : les deux premiers termes se compensent, et $$f(x+\alpha )-f(x)=-\alpha {\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right).$$ Cette constante est nulle si et seulement si $\sin \frac{\pi }{\alpha }=0$, c'est-à-dire si $\frac{1}{\alpha }$ est un entier — ce qui est exclu. Elle est donc non nulle, et l'équation $f(c+\alpha )=f(c)$ n'a aucune solution. Pour $\alpha =0,4$, par exemple, $f(x+0,4)-f(x)=-0,4$ pour tout $x\in [0;0,6]$.

Le théorème obtenu est celui des cordes universelles (Paul Lévy, 1934) : les longueurs $\alpha \in \left]0,1\right]$ telles que toute fonction continue sur $[0,1]$ avec $f(0)=f(1)$ ait une corde horizontale de longueur $\alpha$ sont exactement les inverses d'entiers, $\frac{1}{n}$.

Ce que l'exercice installe. Le schéma « égalité, fonction auxiliaire, valeurs intermédiaires », qui est aussi celui du point fixe du problème ; et l'idée qu'un contre-exemple fait partie du théorème. (La même idée montre qu'il existe à tout instant, sur l'équateur, deux points diamétralement opposés de même température : « température au point opposé moins température au point » prend deux valeurs opposées en deux points opposés.)