Les inégalités de Bernoulli, par la convexité

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La caractérisation du cours : une fonction deux fois dérivable sur un intervalle y est convexe si et seulement si sa dérivée seconde y est positive ; une fonction convexe dérivable a son graphe au-dessus de chacune de ses tangentes ; une fonction convexe a son graphe au-dessous de chacune de ses cordes, entre les deux points. Pour une fonction concave, les inégalités se renversent.

La stratégie. L'approximation affine $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ est la tangente en $0$. La convexité dit de quel côté est l'erreur, pour tout $x$ ; et, avec une corde, elle la borne.

a) La convexité. ${\phi }_{\alpha }(x)=e^{\alpha \ln (1+x)}$ est deux fois dérivable sur $\left]-1,+\infty \right[$, avec $${\phi }_{\alpha }^{\prime }(x)=\alpha (1+x{)}^{\alpha -1},{\phi }_{\alpha }^{\prime \prime }(x)=\alpha (\alpha -1)(1+x{)}^{\alpha -2}.$$ Le facteur $(1+x{)}^{\alpha -2}$ est strictement positif ; le signe de ${\phi }_{\alpha }^{\prime \prime }$ est celui de $\alpha (\alpha -1)$, trinôme en $\alpha$ de racines $0$ et $1$. Donc ${\phi }_{\alpha }$ est convexe si $\alpha \le 0$ ou $\alpha \ge 1$, concave si $0\le \alpha \le 1$ — et affine, donc les deux à la fois, pour $\alpha =0$ ou $1$.

b) La position par rapport à la tangente. La tangente en $0$ a pour équation $y={\phi }_{\alpha }(0)+{\phi }_{\alpha }^{\prime }(0)x=1+\alpha x$. Si ${\phi }_{\alpha }$ est convexe, son graphe est au-dessus : $(1+x{)}^{\alpha }\ge 1+\alpha x$ pour tout $x>-1$. Si elle est concave, il est au-dessous : $(1+x{)}^{\alpha }\le 1+\alpha x$. Ce sont les inégalités de Bernoulli, valables sur tout l'intervalle $\left]-1,+\infty \right[$ et pas seulement près de $0$ — par exemple $(1+x{)}^2\ge 1+2x$, ou $\sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}$.

c) L'encadrement par la tangente et la corde. Soit $\alpha \le 0$ ou $\alpha \ge 1$ : ${\phi }_{\alpha }$ est convexe. La minoration est le b). Pour la majoration, la corde joignant les points du graphe d'abscisses $0$ et $h$ est la droite qui vaut $1$ en $0$ et $(1+h{)}^{\alpha }$ en $h$ : $$y=1+\frac{(1+h{)}^{\alpha }-1}{h}x.$$ Une fonction convexe a son graphe au-dessous de ses cordes entre les deux points : pour $x\in [0,h]$, $(1+x{)}^{\alpha }$ est majoré par l'ordonnée de la corde. D'où l'encadrement.

Ce que dit l'encadrement. L'erreur commise en remplaçant $(1+x{)}^{\alpha }$ par $1+\alpha x$ est positive, et au plus égale à l'écart entre la corde et la tangente — une fonction affine de $x$, nulle en $0$, positive en $h$ d'après le b), donc maximale en $x=h$, où elle vaut $(1+h{)}^{\alpha }-1-\alpha h$.

d) La pesanteur en altitude. Posons $x=\frac{z}{R}$, qui parcourt $\left[0,\frac{H}{R}\right]$ quand $z$ parcourt $[0,H]$, et appliquons le c) avec $\alpha =-2$ et $h=\frac{H}{R}$ : $$1-\frac{2z}{R}\le \frac{g(z)}{g_0}\le 1+\frac{{\left(1+\frac{H}{R}\right)}^{-2}-1}{H/R}\cdot \frac{z}{R}.$$ Pour $H=\frac{R}{16}$ : ${\left(1+\frac{1}{16}\right)}^{-2}={\left(\frac{16}{17}\right)}^2=\frac{256}{289}\approx 0,8858$, et la corde s'écrit environ $1-1,827\frac{z}{R}$. L'approximation $g_0\left(1-\frac{2z}{R}\right)$ est la tangente : elle sous-estime $g$, et l'erreur relative à $g_0$ est au plus l'écart en $z=H$ entre la corde et la tangente, $$\frac{256}{289}-\left(1-\frac{2}{16}\right)\approx 0,8858-0,8750=0,0108.$$ Jusqu'à l'altitude de la station spatiale, l'approximation affine sous-estime la pesanteur d'au plus 1,1 % de sa valeur au sol, l'erreur la plus grande étant atteinte au sommet de l'intervalle.

Ce que l'exercice installe. La convexité donne le signe de l'erreur d'une approximation affine, et l'encadre par la tangente et une corde. C'est l'approximation $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ que la physique et la chimie emploient sans cesse — l'annexe « outils mathématiques » de leurs programmes l'exige — ; la convexité en fait un énoncé contrôlé. Le chapitre d'analyse asymptotique ajoutera le terme en $x^2$.