TVI et équation

Posons $g(x)=x-\cos x$, continue sur $\mathbb{R}$. On a $g(0)=-1<0$ et $g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}>0$ : par le TVI, $g$ s'annule en un point de $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$.

Unicité : $g^{\prime }(x)=1+\sin x\ge 0$, nulle seulement aux points isolés $x\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]$ : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc injective — l'équation a au plus une solution. (Hors de $[-1,1]$, d'ailleurs, $|x|>1\ge |\cos x|$ interdit toute solution.)