Une application de Rolle

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité · D. Rolle, accroissements finis

Énoncé

Soit $f$ dérivable sur $[0, 1]$ avec $f (0) = f (1) = 0$ . Montrer qu'il existe $c \in] 0, 1 [$ tel que :

$f^{'} (c) = f (c) .$

Corrigé

L'astuce est de chercher une fonction auxiliaire dont la dérivée fait apparaître $f^{'} - f$ : posons

$h (x) = e^{- x} f (x) .$

$h$ est dérivable sur $[0, 1]$ , et $h (0) = h (1) = 0$ . Par le théorème de Rolle, il existe $c \in] 0, 1 [$ tel que :

$h^{'} (c) = e^{- c} (f^{'} (c) - f (c)) = 0,$

et comme $e^{- c} \neq = 0$ : $f^{'} (c) = f (c)$ . (Plus généralement, multiplier par $e^{g}$ permet de traiter $f^{'} + g^{'} f$ : c'est l'idée du facteur intégrant des équations différentielles.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.