Une application de Rolle

L'astuce est de chercher une fonction auxiliaire dont la dérivée fait apparaître $f^{\prime }-f$ : posons

$$h(x)=e^{-x}f(x).$$

$h$ est dérivable sur $[0,1]$, et $h(0)=h(1)=0$. Par le théorème de Rolle, il existe $c\in ]0,1[$ tel que :

$$h^{\prime }(c)=e^{-c}(f^{\prime }(c)-f(c))=0,$$

et comme $e^{-c}\ne 0$ : $f^{\prime }(c)=f(c)$. (Plus généralement, multiplier par $e^g$ permet de traiter $f^{\prime }+g^{\prime }f$ : c'est l'idée du facteur intégrant des équations différentielles.)