Une fonction convexe majorée est constante

Stratégie : la position du graphe par rapport à la sécante prolongée, puis un raisonnement par l'absurde des deux côtés.

1) L'inégalité. La droite passant par les points du graphe d'abscisses $0$ et $1$ a pour équation

$$y=f(0)+(f(1)-f(0))x,$$

puisqu'elle vaut $f(0)$ en $0$ et $f(1)$ en $1$. La proposition du cours dit que le graphe d'une fonction convexe est au-dessous de la corde entre les deux points, et au-dessus de la sécante prolongée à l'extérieur du segment. Pour $x\ge 1$, on est à l'extérieur :

$$f(x)\ge f(0)+(f(1)-f(0))x.$$

Le même argument, du côté gauche, donne la même inégalité pour $x\le 0$.

2) La conséquence, par l'absurde. Supposons $f$ majorée sur $\mathbb{R}$ par un réel $M$, et notons $p=f(1)-f(0)$ la pente de la sécante.

• Si $p>0$ : pour $x\ge 1$, $f(x)\ge f(0)+px$, dont le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $x\to +\infty$. Alors $f(x)$ dépasserait $M$ : contradiction.
• Si $p<0$ : on regarde cette fois du côté gauche. Pour $x\le 0$, $f(x)\ge f(0)+px$, et le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $x\to -\infty$, la pente étant négative. Même contradiction.

Donc $p=0$, c'est-à-dire $f(1)=f(0)$.

3) De deux points à tous. Rien n'était particulier à $0$ et $1$. Soient $a<b$ deux réels quelconques : la sécante passant par les points d'abscisses $a$ et $b$ a pour pente $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, et le graphe est au-dessus de cette sécante prolongée, à droite de $b$ comme à gauche de $a$. Le même raisonnement force cette pente à être nulle, donc $f(a)=f(b)$.

Deux points quelconques ont la même image : $f$ est constante.

⚠️ Tout repose sur la moitié de la proposition qu'on oublie. La convexité est presque toujours utilisée sous la forme « le graphe est sous la corde ». Ici c'est l'autre moitié qui sert — « au-dessus de la sécante prolongée » —, et il faut la prolonger dans les deux directions, car on ne sait pas d'avance le signe de la pente. Un seul côté ne traiterait qu'un seul des deux cas.

⚠️ L'hypothèse « sur $\mathbb{R}$ tout entier » est essentielle. Sur un intervalle borné, l'énoncé est faux : $x\mapsto x^2$ est convexe et majorée sur $[0,1]$ sans être constante. C'est la possibilité d'aller arbitrairement loin dans les deux directions qui fait exploser la sécante.

Contrôles. Vérifions l'inégalité de la question 1 sur trois fonctions convexes :

$f$	$f(0)$	$f(1)$	sécante en $x=3$	$f(3)$
$x^2$	0	1	3	9
$e^x$	1	2,718	6,155	20,086
$|x|$	0	1	3	3

Dans chaque cas la valeur de $f$ est supérieure ou égale à celle de la sécante — avec égalité pour la valeur absolue, dont le graphe est la sécante à droite de $0$. Le contrôle a aussi été fait en $x=-1$, $-2$, $-5$ : l'inégalité tient. ✔ Et ces trois fonctions sont bien non majorées sur $\mathbb{R}$, conformément au théorème. ✔

Ce que l'exercice installe. Sur $\mathbb{R}$ tout entier, une fonction convexe ne peut pas rester bornée sans être constante : elle finit toujours par monter, d'un côté au moins. C'est le pendant convexe du fait qu'un polynôme non constant n'est pas borné, et cela explique pourquoi les fonctions convexes intéressantes en optimisation sont celles qui tendent vers $+\infty$ à l'infini.