Une limite finie à l'infini suffit à borner

Stratégie : couper la demi-droite en deux — un segment, où le théorème des bornes atteintes s'applique, et une queue, où la limite fait le travail.

1) La queue, grâce à la limite. Appliquons la définition de la limite en $+\infty$ avec $\epsilon =1$ : il existe $A\ge 0$ tel que

$$\forall x\ge A,|f(x)-\ell |\le 1,\text{donc}|f(x)|\le |\ell |+1$$

par l'inégalité triangulaire. Sur $[A,+\infty [$, la fonction est donc bornée par $|\ell |+1$.

2) Le segment, grâce au théorème des bornes atteintes. Sur $[0,A]$, la fonction $f$ est continue sur un segment : elle y est bornée, disons $|f|\le M$ sur $[0,A]$.

3) Recollement. Tout $x\ge 0$ est soit dans $[0,A]$, soit dans $[A,+\infty [$. Donc

$$\forall x\ge 0,|f(x)|\le \max (M,|\ell |+1),$$

et $f$ est bornée sur $[0,+\infty [$.

⚠️ Aucune des deux moitiés ne suffit seule. Le théorème des bornes atteintes exige un segment, il ne dit rien sur une demi-droite ; la limite ne contrôle que ce qui se passe au-delà d'un certain point, et laisse le début libre. C'est le découpage qui fait la preuve — et le choix $\epsilon =1$ est arbitraire : n'importe quel $\epsilon$ conviendrait, on veut seulement une borne.

4) Les bornes sont-elles atteintes ? Non. Prenons

$$f(x)=\frac{x}{1+x}\text{sur }[0,+\infty [.$$

Elle est continue, tend vers $1$ en $+\infty$, et vérifie $1-f(x)=\frac{1}{1+x}>0$ pour tout $x\ge 0$ : donc $f(x)<1$ partout. Sa borne supérieure vaut $1$ — les valeurs $f(9)=0,9$, $f(99)=0,99$, $f(999)=0,999$ s'en approchent autant qu'on veut — et elle n'est jamais atteinte. (La borne inférieure, elle, vaut $0=f(0)$ : elle est atteinte. Une seule des deux suffit à répondre non.)

⚠️ La différence avec le théorème des bornes atteintes tient au mot « fermé borné ». Sur $[0,+\infty [$, le « bout » qui porte la borne supérieure est rejeté à l'infini, où il n'y a pas de point. C'est exactement le contre-exemple du cours, $x\mapsto x$ sur $[0,1[$, transposé à une demi-droite.

Contrôle numérique. Pour $f(x)=\frac{x}{1+x}$ : $f(0)=0$, $f(1)=0,5$, $f(9)=0,9$, $f(99)=0,99$. La différence $1-f(x)=\frac{1}{1+x}$ a été calculée en arithmétique exacte jusqu'à $x=10^{300}$ : elle reste strictement positive. ✔ (En calcul flottant, $\frac{x}{1+x}$ vaut exactement $1$ dès que $x$ dépasse $10^{16}$ : la machine « atteint » une borne que la fonction n'atteint jamais. Le calcul exact était nécessaire.)

Ce que l'exercice installe. « Continue avec une limite finie en $+\infty$ » est le bon substitut à « continue sur un segment » pour la bornitude — mais pas pour l'atteinte des bornes. On retiendra la technique du découpage segment $+$ queue, qui reviendra chaque fois qu'un théorème valable sur un segment devra être étendu à un intervalle non borné.