Colonne fois ligne, et la projection sur une droite

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

Dans tout l'exercice, $X, Y, Z, W$ désignent des matrices colonnes de $M_{n, 1} (R)$ , et $e_{1}, \dots, e_{n}$ les colonnes de la matrice identité $I_{n}$ : $e_{j}$ a un $1$ en ligne $j$ et des $0$ ailleurs.

a) Quelles sont les tailles de $X^{⊤} Y$ et de $X Y^{⊤}$ ? Que représentent-elles ? Traiter l'exemple $n = 2$ .

b) Montrer que $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = (Y^{⊤} Z) X W^{⊤}$ . En déduire que $(X Y^{⊤})^{2} = (X^{⊤} Y) X Y^{⊤}$ .

c) Montrer que $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$ , et retrouver ainsi la règle $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ . Pour $A \in M_{n} (R)$ , vérifier que $A e_{j}$ est la $j$ -ième colonne de $A$ et que $e_{i}^{⊤} A e_{j} = a_{i, j}$ .

d) Soit $X \neq = 0$ et $P = \frac{1}{X ^{⊤} X} X X^{⊤}$ . Montrer que $P^{2} = P$ , que $P X = X$ , et que $P Z = \frac{X ^{⊤} Z}{X ^{⊤} X} X$ pour toute colonne $Z$ ; interpréter lorsque $X^{⊤} X = 1$ . Calculer $(I_{n} - P)^{2}$ et $P (I_{n} - P)$ .

e) On suppose $X$ et $Y$ non nulles, avec $Y^{⊤} X = 0$ . Montrer que $N = X Y^{⊤}$ est non nulle et vérifie $N^{2} = 0$ . Exemple : $X = (12)$ et $Y = (2 - 1)$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle des tailles, la définition du produit, son associativité, la transposée d'un produit, et le fait qu'une matrice $1 \times 1$ s'identifie à un réel, qui sort d'un produit comme tout scalaire. La stratégie : lire les produits par blocs, en regroupant les facteurs par associativité jusqu'à faire apparaître un bloc $1 \times 1$ .

a) Deux produits, deux objets. $X^{⊤}$ est une ligne $1 \times n$ et $Y$ une colonne $n \times 1$ : $X^{⊤} Y$ est de taille $1 \times 1$ , c'est un nombre, $x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n}$ . Dans l'autre ordre, $X Y^{⊤}$ est une matrice carrée $n \times n$ , de coefficient $(X Y^{⊤})_{i, j} = x_{i} y_{j}$ , la somme qui définit le produit n'ayant qu'un terme. Pour $n = 2$ , $X^{⊤} Y = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$ et $X Y^{⊤} = (x_{1} y_{1} x_{2} y_{1} x_{1} y_{2} x_{2} y_{2}) .$ Selon l'ordre, les mêmes colonnes donnent un nombre ou un tableau ; et la colonne $j$ de $X Y^{⊤}$ valant $y_{j} X$ , toutes ses colonnes sont proportionnelles à $X$ .

b) Le regroupement. Par associativité, $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = X (Y^{⊤} Z) W^{⊤}$ ; le bloc central est $1 \times 1$ , c'est un réel, qui sort devant : $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = (Y^{⊤} Z) X W^{⊤}$ . Avec $Z = X$ et $W = Y$ , $(X Y^{⊤})^{2} = (Y^{⊤} X) X Y^{⊤}$ ; et $Y^{⊤} X = X^{⊤} Y$ , car ce sont deux matrices $1 \times 1$ transposées l'une de l'autre, et une matrice $1 \times 1$ est sa propre transposée.

c) Les matrices élémentaires. Le coefficient $(r, s)$ de $e_{i} e_{j}^{⊤}$ vaut $(e_{i})_{r} (e_{j})_{s}$ : $1$ si $r = i$ et $s = j$ , $0$ sinon. C'est $E_{i, j}$ . Par le b), $E_{i, j} E_{k, l} = (e_{i} e_{j}^{⊤}) (e_{k} e_{l}^{⊤}) = (e_{j}^{⊤} e_{k}) e_{i} e_{l}^{⊤} = δ_{j, k} E_{i, l},$ puisque $e_{j}^{⊤} e_{k}$ vaut $1$ si $j = k$ et $0$ sinon : les indices intérieurs doivent se raccorder. Par la proposition du cours « $A X$ est la combinaison des colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ de $A$ à coefficients les composantes de $X$ », $A e_{j} = C_{j}$ ; et $e_{i}^{⊤} A e_{j}$ , composante $i$ de $C_{j}$ , vaut $a_{i, j}$ .

d) La projection sur une droite. Posons $s = X^{⊤} X = x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} > 0$ . Par le b), $P^{2} = \frac{1}{s ^{2}} (X X^{⊤}) (X X^{⊤}) = \frac{1}{s ^{2}} (X^{⊤} X) X X^{⊤} = \frac{s}{s ^{2}} X X^{⊤} = P .$ De même $P X = \frac{1}{s} X (X^{⊤} X) = X$ et $P Z = \frac{1}{s} X (X^{⊤} Z) = \frac{X ^{⊤} Z}{X ^{⊤} X} X$ . Interprétation : $P$ envoie tout vecteur sur la droite dirigée par $X$ et laisse fixes les vecteurs de cette droite. Si $X^{⊤} X = 1$ , alors $P Z = (X^{⊤} Z) X$ : le nombre $X^{⊤} Z$ est la composante de $Z$ sur l'axe dirigé par $X$ , et projeter sur un axe est un produit matriciel. Enfin, $P$ commutant avec $I_{n}$ , $(I_{n} - P)^{2} = I_{n} - 2 P + P^{2} = I_{n} - P$ et $P (I_{n} - P) = P - P^{2} = 0$ : tout $Z$ s'écrit $P Z + (I_{n} - P) Z$ , un morceau sur la droite, un morceau que $P$ annule. Contrôle : pour $X = (1, 2, 2)^{⊤}$ , $s = 9$ , et la première ligne de $P^{2}$ vaut $\frac{1}{81} (1 + 4 + 4, 2 + 8 + 8, 2 + 8 + 8) = \frac{1}{9} (1, 2, 2)$ , celle de $P$ .

e) Un nilpotent non nul. Par le b), $N^{2} = (Y^{⊤} X) N = 0$ ; et si $x_{i} \neq = 0$ et $y_{j} \neq = 0$ , alors $N_{i, j} = x_{i} y_{j} \neq = 0$ . Sur l'exemple, $Y^{⊤} X = 2 - 2 = 0$ , $N = (24 - 1 - 2)$ , et les coefficients de $N^{2}$ valent $4 - 4$ , $- 2 + 2$ , $8 - 8$ , $- 4 + 4$ : tous nuls.

Le point délicat. On ne sort d'un produit qu'un scalaire : c'est le regroupement des facteurs intérieurs, $Y^{⊤} Z$ , qui en fournit un, alors que $X Y^{⊤}$ est une matrice $n \times n$ qui ne commute avec personne en général.

Ce que l'exercice installe. « Colonne fois ligne » est le bloc le plus simple, une matrice à colonnes proportionnelles, que le chapitre 11 appellera de rang $1$ . Le nombre $X^{⊤} Z$ est le produit scalaire du chapitre 16, et $P$ la projection orthogonale sur une droite ; en mécanique, la projection d'une force $F$ sur un axe de vecteur unitaire $X$ est $(X^{⊤} F) X$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.