Diviseurs de zéro et nilpotence

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. Calcul dans $M_{n} (K)$ et inversibles

Énoncé

Trouver $A, B \in M_{2} (R)$ non nulles telles que $A B = 0$ mais $B A \neq = 0$ . Donner aussi une matrice $N \neq = 0$ vérifiant $N^{2} = 0$ , et en déduire que l'équation $M^{2} = 0$ admet une infinité de solutions dans $M_{2} (R)$ .

Corrigé

Avec les matrices élémentaires : $A = E_{1, 1}$ et $B = E_{2, 1}$ donnent $A B = E_{1, 1} E_{2, 1} = δ_{1, 2} E_{1, 1} = 0$ , tandis que $B A = E_{2, 1} E_{1, 1} = E_{2, 1} \neq = 0$ .

Pour la nilpotence : $N = E_{1, 2}$ vérifie $N^{2} = 0$ . Plus généralement, pour tout $t \in R$ :

$M_{t} = (t 1 - t^{2} - t) v e ˊ rifie M_{t}^{2} = (t^{2} - t^{2} t - t - t^{3} + t^{3} - t^{2} + t^{2}) = 0 :$

une infinité de « racines carrées de zéro » — impensable pour des nombres, banal dans $M_{2} (R)$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.