La parabole par trois points

Stratégie : transformer une condition géométrique en système linéaire — dont les inconnues sont les coefficients, pas les points.

1) Mise en système. Dire que la parabole passe par un point $(x_0,y_0)$, c'est écrire $a{x}_0^2+b{x}_0+c=y_0$, une équation linéaire en $(a,b,c)$. Les trois points donnent

$$\{\begin{array}{ll}c=1& \text{(point }(0,1))\\ a+b+c=0& \text{(point }(1,0))\\ 4a+2b+c=3& \text{(point }(2,3))\end{array}\text{soit}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 4& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right).$$

2) Résolution. La première ligne donne immédiatement $c=1$. En le reportant :

$$a+b=-1\text{et}4a+2b=2,\text{ c’est-aˋ-dire }2a+b=1.$$

En retranchant la première de la seconde : $a=2$, puis $b=-1-2=-3$.

$$\boxed{y=2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1).}$$

⚠️ Pourquoi la solution est-elle unique ? Parce que les trois abscisses $0$, $1$, $2$ sont deux à deux distinctes. Si deux points avaient la même abscisse, les deux lignes correspondantes de la matrice seraient identiques : selon les ordonnées, le système serait incompatible (deux ordonnées différentes au-dessus d'une même abscisse — ce n'est plus le graphe d'une fonction) ou indéterminé. La distinction des abscisses n'est pas un détail de l'énoncé, c'est l'hypothèse qui fait marcher le système.

Contrôle numérique. Notons $f(x)=2x^2-3x+1$. Alors $f(0)=1$ ✔, $f(1)=2-3+1=0$ ✔, $f(2)=8-6+1=3$ ✔. Les trois points sont bien sur la parabole. Sa forme factorisée montre au passage qu'elle coupe l'axe des abscisses en $\frac{1}{2}$ et en $1$, et son sommet est en $x=\frac{3}{4}$.

Ce que l'exercice installe. Faire passer une courbe par des points imposés est un problème linéaire en les coefficients, quelle que soit la complication de la courbe. C'est l'idée qui gouverne tout ajustement de données : on choisit une famille de fonctions dépendant linéairement de paramètres, et les conditions deviennent un système $AX=B$.