Optique matricielle : l'ordre des facteurs est l'ordre de traversée

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

Dans l'approximation de Gauss, un rayon lumineux voisin de l'axe optique est décrit, dans un plan perpendiculaire à l'axe, par la colonne $X = (y α)$ , où $y$ est sa distance algébrique à l'axe et $α$ l'angle (petit, en radians) qu'il fait avec l'axe. On admet les deux lois suivantes :

une propagation libre sur une distance $d$ transforme $X$ en $T (d) X$ , avec $T (d) = (10 d 1)$ (le rayon est rectiligne : $y^{'} = y + d α$ et $α^{'} = α$ ) ;
une lentille mince de vergence $V = \frac{1}{f ^{'}}$ , où $f^{'}$ est sa distance focale image, transforme $X$ en $L (V) X$ , avec $L (V) = (1 - V 01)$ (la hauteur est conservée, l'angle est dévié de $- V y$ ).

a) Un rayon traverse une lentille $L_{1}$ de vergence $V_{1}$ , parcourt la distance $e$ , puis traverse une lentille $L_{2}$ de vergence $V_{2}$ . Montrer que la colonne de sortie est $M X$ avec $M = L (V_{2}) T (e) L (V_{1})$ — pourquoi dans cet ordre ? — et calculer $M$ .

b) Un système de matrice $(A C B D)$ transforme un rayon incident parallèle à l'axe, $(y 0)$ , en un rayon d'angle $C y$ : il le dévie comme le ferait une lentille mince de vergence $- C$ , que l'on appelle la vergence du système. En déduire la formule de Gullstrand : le doublet a pour vergence $V = V_{1} + V_{2} - e V_{1} V_{2}$ .

c) Calculer la matrice $M^{'}$ du doublet retourné (on traverse d'abord $L_{2}$ ). A-t-on $M^{'} = M$ ? Qu'est-ce qui est conservé, qu'est-ce qui change ? (Regarder à quelle distance de la dernière lentille un faisceau parallèle à l'axe coupe l'axe.)

d) Pour $N = (a c b d)$ , on note $δ (N) = a d - b c$ . Vérifier par le calcul que $δ (N N^{'}) = δ (N) δ (N^{'})$ pour toutes $N, N^{'} \in M_{2} (R)$ , puis que $δ (M) = 1$ pour tout système formé de lentilles minces et de propagations. En déduire que ces matrices sont inversibles, et interpréter $T (d)^{- 1}$ et $L (V)^{- 1}$ .

e) Le doublet est dit afocal si $V = 0$ . Montrer que, pour $V_{1} V_{2} \neq = 0$ , cela équivaut à $e = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ , et qu'alors un faisceau de rayons parallèles entre eux, d'inclinaison $α$ , ressort en rayons parallèles entre eux, d'inclinaison $G α$ avec $G = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ : c'est la lunette astronomique. Calculer $G$ pour $f_{1}^{'} = 1 m$ et $f_{2}^{'} = 2 cm$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'associativité du produit, l'inverse d'un produit, et le critère du cours : une matrice $2 \times 2$ est inversible si et seulement si $a d - b c \neq = 0$ . Les lois physiques sont données : on les compose. La stratégie : chaque élément agit sur $X$ par une multiplication à gauche, et l'associativité fait d'une suite de traversées un seul produit.

a) L'ordre des facteurs. Le rayon $X$ traverse $L_{1}$ et devient $L (V_{1}) X$ , se propage et devient $T (e) L (V_{1}) X$ , traverse $L_{2}$ et devient $L (V_{2}) T (e) L (V_{1}) X = M X$ . Le premier élément traversé est le facteur de droite, le plus proche de $X$ . En commençant par la droite, $T (e) L (V_{1}) = (1 - e V_{1} - V_{1} e 1)$ , puis $M = (1 - V_{2} 01) (1 - e V_{1} - V_{1} e 1) = (1 - e V_{1} - (V_{1} + V_{2} - e V_{1} V_{2}) e 1 - e V_{2}),$ le coefficient $(2, 1)$ valant $- V_{2} (1 - e V_{1}) - V_{1}$ .

b) Gullstrand. Le rayon $(y 0)$ ressort en $(A y C y)$ ; une lentille de vergence $V$ donnerait l'angle $- V y$ , d'où la vergence $- C$ . Pour le doublet, $V = V_{1} + V_{2} - e V_{1} V_{2}$ : accolées ( $e = 0$ ), les lentilles ajoutent leurs vergences, et $- e V_{1} V_{2}$ est le prix de la distance.

c) Le doublet retourné. En échangeant $V_{1}$ et $V_{2}$ , $M^{'} = L (V_{1}) T (e) L (V_{2}) = (1 - e V_{2} - (V_{1} + V_{2} - e V_{1} V_{2}) e 1 - e V_{1}) .$ La vergence est conservée, l'expression étant symétrique en $V_{1}$ et $V_{2}$ , mais les coefficients diagonaux sont échangés : dès que $e \neq = 0$ et $V_{1} \neq = V_{2}$ , $M^{'} \neq = M$ . Pour $V \neq = 0$ , un rayon parallèle à l'axe à la hauteur $y$ sort à la hauteur $A y$ avec l'angle $- V y$ ; après une distance $x$ , sa hauteur vaut $(A - x V) y$ , nulle pour $x = \frac{A}{V}$ quel que soit $y$ : le foyer image est à $\frac{1 - e V _{1}}{V}$ de la dernière lentille pour le doublet, à $\frac{1 - e V _{2}}{V}$ pour le doublet retourné. Contrôle : avec $V_{1} = 10$ dioptries, $V_{2} = 5$ dioptries et $e = 5 cm$ , $V = 15 - 0, 05 \times 50 = 12, 5$ dioptries dans les deux sens, mais le foyer est à $\frac{0 , 5}{12 , 5} = 4 cm$ dans un sens et à $\frac{0 , 75}{12 , 5} = 6 cm$ dans l'autre. Même vergence, foyers différents : la non-commutativité se mesure sur un banc d'optique.

d) Le nombre $a d - b c$ se multiplie. Avec $N^{'} = (a^{'} c^{'} b^{'} d^{'})$ , $N N^{'} = (a a^{'} + b c^{'} c a^{'} + d c^{'} a b^{'} + b d^{'} c b^{'} + d d^{'})$ , et en développant $(a a^{'} + b c^{'}) (c b^{'} + d d^{'}) - (a b^{'} + b d^{'}) (c a^{'} + d c^{'})$ , les termes $a a^{'} c b^{'}$ et $a b^{'} c a^{'}$ se détruisent, ainsi que $b c^{'} d d^{'}$ et $b d^{'} d c^{'}$ : $δ (N N^{'}) = a d a^{'} d^{'} + b c b^{'} c^{'} - a d b^{'} c^{'} - b c a^{'} d^{'} = (a d - b c) (a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'}) = δ (N) δ (N^{'}) .$ Or $δ (T (d)) = δ (L (V)) = 1$ ; la matrice d'un système de lentilles et de propagations étant un produit de telles matrices, la multiplicativité répétée donne $δ (M) = 1$ , et ces matrices sont inversibles. Enfin $T (d) T (- d) = I_{2}$ et $L (V) L (- V) = I_{2}$ : l'inverse d'une propagation sur $d$ est une propagation sur $- d$ , on remonte le rayon ; l'inverse d'une lentille de vergence $V$ est une lentille de vergence $- V$ , et accolées, elles ne dévient plus rien.

e) La lunette. Multiplier $V = 0$ par $f_{1}^{'} f_{2}^{'} \neq = 0$ donne $f_{2}^{'} + f_{1}^{'} - e = 0$ : le doublet est afocal si et seulement si $e = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ . Alors $1 - e V_{1} = - \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}$ et $1 - e V_{2} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ , d'où $M = - \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}} 0 f_{1}^{'} + f_{2}^{'} - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} .$ Un rayon $(y α)$ sort avec l'angle $- \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} α$ , indépendant de $y$ : le faisceau ressort parallèle, d'inclinaison $G α$ avec $G = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ . Pour $f_{1}^{'} = 1 m$ et $f_{2}^{'} = 0, 02 m$ , $G = - 50$ : une étoile vue sous $0, 1$ milliradian l'est sous $5$ milliradians, et renversée. Contrôle : $δ (M) = \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}} \times \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} - 0 = 1$ .

Le point délicat. Le rayon rencontre $L_{1}$ en premier, et pourtant $L (V_{1})$ s'écrit à droite, contre $X$ : écrire $L (V_{1}) T (e) L (V_{2})$ , c'est calculer l'instrument retourné, qui n'est pas le même.

Ce que l'exercice installe. Un instrument d'optique paraxiale est un produit de matrices $2 \times 2$ : le chapitre 11 dira que la matrice d'une composée est le produit des matrices, le chapitre 12 que le déterminant, dont $a d - b c$ est le cas $2 \times 2$ , se multiplie en toute taille — et l'optique de PCSI s'en sert pour les lentilles minces et la lunette.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.