mathématiques (PCSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Problème : la factorisation $LU$ , ou le pivot de Gauss comme produit de matrices

Calcul matriciel et systèmes linéaires · E. Problèmes et applications · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (K)$ , avec $n \geq 2$ . On dit que le pivot de Gauss s'effectue sans échange si, à chaque étape $k \in {1, \dots, n - 1}$ , le coefficient d'indice $(k, k)$ de la matrice courante — le pivot — est non nul ; on annule alors les coefficients situés sous lui par les opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} - m_{i, k} L_{k}$ ( $i > k$ ), où le multiplicateur $m_{i, k}$ est le quotient du coefficient $(i, k)$ de la matrice courante par le pivot. On note $T$ l'ensemble des matrices triangulaires inférieures dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ .

1) Pour $k$ fixé, on pose $G_{k} = I_{n} - \sum_{i > k} m_{i, k} E_{i, k}$ . Montrer que multiplier à gauche par $G_{k}$ effectue d'un coup les opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} - m_{i, k} L_{k}$ pour $i > k$ , et que $G_{k}$ est inversible, d'inverse $I_{n} + \sum_{i > k} m_{i, k} E_{i, k}$ (calculer $E_{i, k} E_{j, k}$ pour $i, j > k$ ).

2) Montrer que $G_{1}^{- 1} G_{2}^{- 1} \dots G_{n - 1}^{- 1} = I_{n} + \sum_{1 \leq k < i \leq n} m_{i, k} E_{i, k}$ : les multiplicateurs se rangent d'eux-mêmes sous la diagonale. Vérifier, pour $n = 3$ , que le produit dans l'autre ordre, $G_{2}^{- 1} G_{1}^{- 1}$ , fait apparaître en position $(3, 1)$ le coefficient $m_{3, 1} + m_{3, 2} m_{2, 1}$ .

3) En déduire que, si le pivot s'effectue sans échange, $U = G_{n - 1} \dots G_{1} A$ est triangulaire supérieure, et que $A = LU$ avec $L \in T$ .

4) On suppose de plus $A$ inversible. Montrer que $U$ est inversible. Si $A = L_{1} U_{1} = L_{2} U_{2}$ , avec $L_{1}, L_{2} \in T$ et $U_{1}, U_{2}$ triangulaires supérieures, montrer que $L_{2}^{- 1} L_{1} = U_{2} U_{1}^{- 1}$ , que cette matrice est à la fois dans $T$ et triangulaire supérieure, et conclure que $L_{1} = L_{2}$ et $U_{1} = U_{2}$ .

5) Factoriser $A = 248137139$ , puis résoudre $A X = B$ pour $B = 51333$ par une descente $L Y = B$ suivie d'une remontée $U X = Y$ . Pourquoi vaut-il mieux factoriser une fois pour toutes lorsqu'on doit résoudre $A X = B$ pour de nombreux seconds membres — un même circuit soumis à plusieurs sources, un schéma numérique qui avance pas à pas ?

6) Montrer que $(0110)$ n'admet aucune écriture $LU$ avec $L \in T$ et $U$ triangulaire supérieure, mais qu'après échange de ses lignes, si. Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ et sa lecture de l'exercice 6 — $E_{i, j} A$ a pour ligne $i$ la ligne $j$ de $A$ , et ses autres lignes nulles ; les opérations sur les lignes comme produits à gauche ; l'inverse d'un produit ; et l'exercice 9, pour la stabilité des triangulaires. La stratégie : écrire chaque étape du pivot comme un produit, puis lire le produit des inverses sans le calculer.

1) Une étape du pivot est un produit. Pour $i > k$ , $E_{i, k} A$ a pour ligne $i$ la ligne $k$ de $A$ , et ses autres lignes nulles. Donc $G_{k} A = A - \sum_{i > k} m_{i, k} E_{i, k} A$ garde les lignes de $A$ jusqu'à l'indice $k$ , et sa ligne $i > k$ vaut $L_{i} - m_{i, k} L_{k}$ : $G_{k}$ effectue d'un coup les transvections de l'étape $k$ , qui n'interfèrent pas, puisqu'elles utilisent toutes la ligne $L_{k}$ , qu'aucune ne modifie. L'inverse : posons $N_{k} = \sum_{i > k} m_{i, k} E_{i, k}$ ; pour $i, j > k$ , $E_{i, k} E_{j, k} = δ_{k, j} E_{i, k} = 0$ car $j \neq = k$ , donc $N_{k}^{2} = 0$ et $(I_{n} - N_{k}) (I_{n} + N_{k}) = I_{n} - N_{k}^{2} = I_{n}$ , dans les deux ordres. $G_{k}^{- 1} = I_{n} + N_{k}$ : pour défaire l'étape, on rajoute ce qu'on avait retranché.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le 2), je développe $(I_{n} + N_{1}) (I_{n} + N_{2}) \dots (I_{n} + N_{n - 1})$ avec $G_{k}^{- 1} = I_{n} + N_{k}$ , mais il apparaît plein de produits croisés de $N_{k}$ , et je ne vois pas comment les contrôler.

Commence par deux facteurs : calcule $N_{k} N_{l}$ pour $k < l$ avec la règle $E_{i, j} E_{p, q} = δ_{j, p} E_{i, q}$ . À quelle condition sur les indices un terme du produit survit-il ?

Élève

Les termes sont des $E_{i, k} E_{j, l}$ avec $i > k$ et $j > l$ , et un tel produit n'est non nul que si $j = k$ .

Avec $k < l$ , ce cas peut-il se produire ? Et dans le développement complet, dans quel ordre apparaissent les indices des produits de plusieurs $N_{k}$ ? Pour $n = 3$ , quel produit croisé l'ordre $G_{2}^{- 1} G_{1}^{- 1}$ fait-il apparaître ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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