mathématiques (PCSI) · Chapitre 7 · Application directe du cours

Produits et non-commutativité

Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices · niveau 1 (application)

Énoncé

Soient $A = (1324)$ , $B = (1 - 1 - 1 1)$ . Calculer $A B$ , $B A$ , et $(A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2})$ . Commenter.

$A B = (- 1 - 1 11), B A = (- 2 2 - 2 2) \neq = A B .$

Or $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , donc :

$(A + B)^{2} - (A^{2} + 2 A B + B^{2}) = B A - A B = (- 1 3 - 3 1) \neq = 0 :$

l'identité remarquable $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ est fausse dès que $A$ et $B$ ne commutent pas.