Un inverse d'un seul côté suffit

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. On rappelle (cours) que chaque opération élémentaire sur les lignes revient à multiplier à gauche par une matrice inversible — échange $P_{i,j}$, dilatation $D_i(\lambda )$ avec $\lambda \ne 0$, transvection $T_{i,j}(\lambda )=I_n+\lambda E_{i,j}$ — dont l'inverse est la matrice d'une opération élémentaire du même type.

a) On suppose que $A$ est inversible, ou seulement qu'il existe $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $BA=I_n$. Montrer que le système homogène $AX=0$ n'a que la solution nulle.

b) On suppose que $AX=0$ n'a que la solution nulle, et l'on applique à $A$ la méthode de Gauss-Jordan : on obtient une matrice échelonnée réduite $A^{\prime }=E_k\cdots E_{1}A$, dans laquelle chaque pivot vaut $1$ et est le seul coefficient non nul de sa colonne, les $E_i$ étant des matrices d'opérations élémentaires sur les lignes. Montrer que $A^{\prime }X=0$ n'a que la solution nulle, que chaque colonne de $A^{\prime }$ porte un pivot, puis que $A^{\prime }=I_n$.

c) En déduire que $A=E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}$ : $A$ est inversible, et c'est un produit de matrices d'opérations élémentaires.

d) Conclure : pour $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, $BA=I_n$ entraîne que $A$ est inversible et que $B=A^{-1}$ ; de même, $AB=I_n$ entraîne $B=A^{-1}$.

e) Trouver $A\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{1,2}(\mathbb{R})$ telles que $BA=I_1$ et $AB\ne I_2$. Où l'hypothèse « carrée » a-t-elle servi ?

f) Application. Soient $x_1,x_2,x_3$ trois réels deux à deux distincts. Montrer que, pour tous réels $y_1,y_2,y_3$, il existe un unique triplet $(a,b,c)$ tel que la courbe d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ passe par les trois points $(x_i,y_i)$. Déterminer cette courbe pour les points $(0,1)$, $(1,0)$ et $(2,3)$.