Exercices corrigés — Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants (mathématiques (PSI))
23 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Niveau ★ — application directe du cours
- Le rang d'un projecteur se lit sur sa trace Exercice de TD
- Trois droites en somme directe, et le piège du « deux à deux » Exercice de TD
- Un polynôme annulateur donne l'inverse et toutes les puissances Exercice de TD
- Déterminant triangulaire par blocs, et la formule qui n'existe pas Exercice de TD
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- L'opérateur aux différences, un drapeau de sous-espaces stables Exercice de TD
- Lagrange et Vandermonde, deux lectures d'un même changement de base Exercice de TD
- Un endomorphisme de carré nul, lu par blocs Exercice de TD
Niveau ★★★ — approfondissement
- Des projecteurs de somme id découpent l'espace Exercice de TD
- La trace est la seule forme linéaire qui ignore l'ordre des facteurs Exercice de TD
- Le déterminant par blocs lorsque deux blocs commutent Exercice de TD
C. Sous-espaces stables, endomorphisme induit, blocs
- Toute droite stable : l'endomorphisme est une homothétie Exercice de TD
- Soit u ∈ L(E). Application directe du cours
D. Polynômes d'endomorphismes et de matrices
- Un polynôme annulateur factorisé découpe l'espace Exercice de TD
- Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de …, puis… Application directe du cours
E. Trace
- Trace et déterminant de la transposition Exercice de TD
- Déduire de … que, pour toutes …, [ tr(ABC) =… Application directe du cours
F. Déterminants par blocs, Vandermonde et interpolation
- Un endomorphisme complexe préserve l'orientation réelle Exercice de TD
- Le coefficient dominant lu dans la base de Lagrange Exercice de TD
- Calculer V(1, 2, 3, 4) (réponse : 12) et V(1, j, j²) où j = e^2iπ/3… Application directe du cours
A. Sommes directes de plusieurs sous-espaces
- Dans E = ℂₙ[X], on pose, pour k ∈ {0, 1, 2}, Fₖ = Vect (Xʲ : 0 ≤ j ≤… Application directe du cours
- Dans Mₙ(𝕂), soient D le sous-espace des matrices diagonales, T⁺ celui… Application directe du cours
B. Projecteurs et symétries
- Soit p un projecteur de E et s = 2p - id_E. Application directe du cours
Z. Problèmes de concours corrigés
- Déterminant circulant et racines de l'unité Application directe du cours