Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme qu'ils forment.

1.1 Introduction et vue d'ensemble

L'algèbre linéaire en deuxième année de CPGE approfondit la géométrie vectorielle des endomorphismes et la structure des espaces de dimension finie. Ce chapitre introduit les concepts centraux de sous-espaces stables, d'endomorphismes induits, de projecteurs et symétries, ainsi que l'algèbre des polynômes d'endomorphismes et la notion de polynôme annulateur. En calcul matriciel, les techniques de réduction par blocs et le déterminant de Vandermonde fournissent les outils indispensables pour l'étude des systèmes linéaires complexes, la physique théorique et l'analyse spectrale.

1.2 Sous-espaces Stables et Endomorphismes Induits

1.2.1 Définition et Propriétés Fondamentales

Un sous-espace stable est un sous-espace dans lequel l'endomorphisme reste enfermé. L'intérêt est immédiat : on peut alors oublier le reste de l'espace et étudier $u$ sur $F$ seul, c'est-à-dire remplacer un problème de dimension $n$ par un problème de dimension $dim F$ . Toute la stratégie du chapitre suivant tient dans cette idée — trouver assez de sous-espaces stables pour découper $E$ en morceaux sur lesquels $u$ agit simplement.

Important

Stable ne signifie pas fixe : la condition $u (F) \subset F$ n'impose pas que les vecteurs de $F$ soient invariants, seulement qu'ils ne sortent pas de $F$ . Une rotation du plan stabilise le plan tout entier sans y fixer un seul vecteur non nul.

Définition 1.1Sous-espace stable

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ . Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $u$ si :

$u (F) \subset F (i.e. \forall x \in F, u (x) \in F) .$

Dans ce cas, l'application $u_{F} : F \to F, x \mapsto u (x)$ est un endomorphisme de $F$ , appelé l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 1.2Stabilité des noyaux et des images des commutants

Soient $u, v \in L (E)$ deux endomorphismes qui commutent ( $u \circ v = v \circ u$ ). Alors :

$Ker (v)$ et $Im (v)$ sont des sous-espaces stables par $u$ .
En particulier, pour tout polynôme $P \in K [X]$ , le sous-espace $Ker (P (u))$ est stable par $u$ .
Tous les sous-espaces propres $E_{λ} (u) = Ker (u - λ id_{E})$ sont stables par $v$ .

Cette proposition est le moteur du chapitre entier, et il faut en retenir la forme générale plutôt que les trois cas : tout ce qui commute avec $u$ voit ses noyaux et ses images stabilisés par $u$ . Comme $u$ commute avec n'importe quel polynôme en lui-même, le point $2$ en découle sans effort — et c'est précisément ce point qui fait des polynômes en $u$ la source la plus commode de sous-espaces stables.

Démonstration

Soit $x \in Ker (v)$ , alors $v (x) = 0$ . On a $v (u (x)) = (v \circ u) (x) = (u \circ v) (x) = u (v (x)) = u (0) = 0$ . Donc $u (x) \in Ker (v)$ .
Soit $y \in Im (v)$ , il existe $x \in E$ tel que $y = v (x)$ . Alors $u (y) = u (v (x)) = v (u (x)) \in Im (v)$ .
Comme $u$ commute avec $P (u)$ et $u - λ id_{E}$ , les propriétés s'en déduisent immédiatement.

1.2.2 Traduction Matricielle par Blocs

La stabilité a une traduction matricielle exacte, et c'est sous cette forme qu'on l'utilise en calcul. Choisir une base dont les premiers vecteurs engendrent $F$ fait apparaître un bloc de zéros, et ce bloc est la stabilité.

◆Théorème 1.3Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ , et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $p$ .

$F$ est stable par $u$ si et seulement si, dans toute base $B = (e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})$ adaptée à $F$ , la matrice de $u$ est triangulaire supérieure par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0 B C), avec A = Mat_{(e_{1}, \dots, e_{p})} (u_{F}) \in M_{p} (K) et C \in M_{n - p} (K) .$

De plus, on a les relations sur le déterminant, la trace et le polynôme caractéristique :

$det (u) = det (u_{F}) \cdot det (C), tr (u) = tr (u_{F}) + tr (C), χ_{u} (X) = χ_{u_{F}} (X) \cdot χ_{C} (X) .$

En particulier, le polynôme caractéristique de l'induit $χ_{u_{F}}$ divise $χ_{u}$ .

Si $E = F \oplus G$ avec $F$ et $G$ stables par $u$ , la matrice de $u$ dans une base adaptée est diagonale par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0 0 C) .$

Le point $2$ est celui qu'on emploie le plus : la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique se factorisent le long de la décomposition. La divisibilité $χ_{u_{F}} ∣ χ_{u}$ en est le corollaire pratique, et elle sert constamment à limiter les valeurs propres possibles d'un endomorphisme induit.

Le passage du point $1$ au point $3$ marque toute la difficulté de la réduction. Un seul sous-espace stable donne une matrice triangulaire par blocs, ce qui est facile à obtenir ; une décomposition en somme directe de sous-espaces tous stables donne une matrice diagonale par blocs, ce qui est rare. Rien ne garantit en effet qu'un supplémentaire d'un sous-espace stable soit lui-même stable ; c'est le chapitre de réduction qui donnera les conditions sous lesquelles il l'est.

Exercices du chapitre

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