Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année)

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1.1 Introduction et vue d'ensemble

L'algèbre linéaire en deuxième année de CPGE approfondit la géométrie vectorielle des endomorphismes et la structure des espaces de dimension finie. Ce chapitre introduit les concepts centraux de sous-espaces stables, d'endomorphismes induits, de projecteurs et symétries, ainsi que l'algèbre des polynômes d'endomorphismes et la notion de polynôme annulateur. En calcul matriciel, les techniques de réduction par blocs et le déterminant de Vandermonde fournissent les outils indispensables pour l'étude des systèmes linéaires complexes, la physique théorique et l'analyse spectrale.

1.2 Sous-espaces Stables et Endomorphismes Induits

1.2.1 Définition et Propriétés Fondamentales

Un sous-espace stable est un sous-espace dans lequel l'endomorphisme reste enfermé. L'intérêt est immédiat : on peut alors oublier le reste de l'espace et étudier $u$ sur $F$ seul, c'est-à-dire remplacer un problème de dimension $n$ par un problème de dimension $dim F$ . Toute la stratégie du chapitre suivant tient dans cette idée — trouver assez de sous-espaces stables pour découper $E$ en morceaux sur lesquels $u$ agit simplement.

Important

Stable ne signifie pas fixe : la condition $u (F) \subset F$ n'impose pas que les vecteurs de $F$ soient invariants, seulement qu'ils ne sortent pas de $F$ . Une rotation du plan stabilise le plan tout entier sans y fixer un seul vecteur non nul.

Définition 1.1Sous-espace stable

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ . Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $u$ si :

$u (F) \subset F (i.e. \forall x \in F, u (x) \in F) .$

Dans ce cas, l'application $u_{F} : F \to F, x \mapsto u (x)$ est un endomorphisme de $F$ , appelé l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 1.2Stabilité des noyaux et des images des commutants

Soient $u, v \in L (E)$ deux endomorphismes qui commutent ( $u \circ v = v \circ u$ ). Alors :

$Ker (v)$ et $Im (v)$ sont des sous-espaces stables par $u$ .
En particulier, pour tout polynôme $P \in K [X]$ , le sous-espace $Ker (P (u))$ est stable par $u$ .
Tous les sous-espaces propres $E_{λ} (u) = Ker (u - λ id_{E})$ sont stables par $v$ .

Cette proposition est le moteur du chapitre entier, et il faut en retenir la forme générale plutôt que les trois cas : tout ce qui commute avec $u$ voit ses noyaux et ses images stabilisés par $u$ . Comme $u$ commute avec n'importe quel polynôme en lui-même, le point $2$ en découle sans effort — et c'est précisément ce point qui fait des polynômes en $u$ la source la plus commode de sous-espaces stables.

Démonstration

Soit $x \in Ker (v)$ , alors $v (x) = 0$ . On a $v (u (x)) = (v \circ u) (x) = (u \circ v) (x) = u (v (x)) = u (0) = 0$ . Donc $u (x) \in Ker (v)$ .
Soit $y \in Im (v)$ , il existe $x \in E$ tel que $y = v (x)$ . Alors $u (y) = u (v (x)) = v (u (x)) \in Im (v)$ .
Comme $u$ commute avec $P (u)$ et $u - λ id_{E}$ , les propriétés s'en déduisent immédiatement.

1.2.2 Traduction Matricielle par Blocs

La stabilité a une traduction matricielle exacte, et c'est sous cette forme qu'on l'utilise en calcul. Choisir une base dont les premiers vecteurs engendrent $F$ fait apparaître un bloc de zéros, et ce bloc est la stabilité.

◆Théorème 1.3Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ , et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $p$ .

$F$ est stable par $u$ si et seulement si, dans toute base $B = (e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})$ adaptée à $F$ , la matrice de $u$ est triangulaire supérieure par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0 B C), avec A = Mat_{(e_{1}, \dots, e_{p})} (u_{F}) \in M_{p} (K) et C \in M_{n - p} (K) .$

De plus, on a les relations sur le déterminant, la trace et le polynôme caractéristique :

$det (u) = det (u_{F}) \cdot det (C), tr (u) = tr (u_{F}) + tr (C), χ_{u} (X) = χ_{u_{F}} (X) \cdot χ_{C} (X) .$

En particulier, le polynôme caractéristique de l'induit $χ_{u_{F}}$ divise $χ_{u}$ .

Si $E = F \oplus G$ avec $F$ et $G$ stables par $u$ , la matrice de $u$ dans une base adaptée est diagonale par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0 0 C) .$

Le point $2$ est celui qu'on emploie le plus : la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique se factorisent le long de la décomposition. La divisibilité $χ_{u_{F}} ∣ χ_{u}$ en est le corollaire pratique, et elle sert constamment à limiter les valeurs propres possibles d'un endomorphisme induit.

Le passage du point $1$ au point $3$ marque toute la difficulté de la réduction. Un seul sous-espace stable donne une matrice triangulaire par blocs, ce qui est facile à obtenir ; une décomposition en somme directe de sous-espaces tous stables donne une matrice diagonale par blocs, ce qui est rare. Rien ne garantit en effet qu'un supplémentaire d'un sous-espace stable soit lui-même stable ; c'est le chapitre de réduction qui donnera les conditions sous lesquelles il l'est.

Figure : La stabilité de

F

, lue sur la matrice : dans une base adaptée, le bloc

sous-diagonal est nul. C'est cette forme triangulaire par blocs qui fait factoriser le déterminant, la trace et le polynôme caractéristique.</div>

1.3 Trace

La trace est la plus simple des quantités attachées à une matrice — une somme de $n$ coefficients — et pourtant la seule, avec le déterminant, qui ne dépende pas de la base choisie. Cette invariance n'a rien d'évident sur la définition : elle découle d'une identité, $tr (A B) = tr (B A)$ , dont la démonstration tient en un échange de deux sommations.

Définition 1.4Trace d'une matrice carrée

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)$ . La trace de $A$ est la somme de ses coefficients diagonaux :

$tr (A) = i = 1 \sum n a_{i, i} .$

Proposition 1.5Propriétés de la trace

Pour $A, B \in M_{n} (K)$ et $λ, μ \in K$ :

Linéarité : $tr (λ A + μ B) = λ tr (A) + μ tr (B)$ . La trace est une forme linéaire sur $M_{n} (K)$ .
Transposition : $tr (^{t} A) = tr (A)$ .
Commutation sous la trace : $tr (A B) = tr (B A)$ .

Démonstration

Les deux premiers points sont immédiats : la diagonale de $λ A + μ B$ est $λ a_{i, i} + μ b_{i, i}$ , et la transposition laisse la diagonale en place. Pour le troisième, on écrit les deux traces et on échange les sommations :

$tr (A B) = i = 1 \sum n (k = 1 \sum n a_{i, k} b_{k, i}) = k = 1 \sum n (i = 1 \sum n b_{k, i} a_{i, k}) = tr (B A) .$

Les deux sommes doubles portent sur les mêmes $n^{2}$ produits ; seul l'ordre de sommation change.

Important

$tr (A B) = tr (B A)$ ne dit pas que $A B = B A$ , et la trace n'est pas multiplicative : $tr (A B) \neq = tr (A) tr (B)$ en général. Avec $A = B = I_{2}$ , le membre de gauche vaut $2$ et celui de droite $4$ . La relation ne vaut d'ailleurs que pour un produit de deux facteurs échangés en bloc : pour trois, seules les permutations circulaires sont permises, $tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B)$ , et $tr (A C B)$ n'a aucune raison de leur être égale.

◆Théorème 1.6Invariance par similitude et trace d'un endomorphisme

Si $A$ et $B$ sont semblables, c'est-à-dire s'il existe $P \in GL_{n} (K)$ telle que $B = P^{- 1} A P$ , alors

$tr (B) = tr (A) .$

Par conséquent, si $E$ est de dimension finie et $u \in L (E)$ , toutes les matrices représentant $u$ ont la même trace : on appelle trace de $u$ , notée $tr (u)$ , la trace commune de ces matrices.

Démonstration

En appliquant la commutation sous la trace au couple $(P^{- 1} A, P)$ :

$tr (P^{- 1} A P) = tr ((P^{- 1} A) P) = tr (P (P^{- 1} A)) = tr ((P P^{- 1}) A) = tr (A) .$

Deux matrices d'un même endomorphisme dans deux bases étant semblables, la trace ne dépend que de $u$ .

La trace d'un endomorphisme se lit alors sur n'importe quelle base, et l'on choisit la plus commode. C'est ce qui donne, au paragraphe suivant, le rang d'un projecteur sans aucun calcul : dans une base adaptée à $E = Im (p) \oplus Ker (p)$ , la matrice de $p$ est diagonale, avec $rg (p)$ coefficients égaux à $1$ et les autres nuls.

1.4 Projecteurs et Symétries Vectorielles

1.4.1 Projecteurs

La définition d'un projecteur tient en une équation, $p^{2} = p$ , et cette équation est polynomiale : elle dit que $X^{2} - X$ annule $p$ . Ce polynôme est scindé à racines simples, $X (X - 1)$ , et l'on verra au chapitre suivant que cela suffit à rendre un endomorphisme diagonalisable. Les projecteurs sont donc l'exemple le plus simple de la théorie qui vient, et il vaut la peine de les regarder sous cet angle plutôt que comme une construction géométrique.

Définition 1.7Projecteur

Un endomorphisme $p \in L (E)$ est appelé un projecteur (ou une projection vectorielle) si :

$p^{2} = p \circ p = p .$

◆Théorème 1.8Caractérisation et Propriétés des Projecteurs

Soit $p \in L (E)$ .

$p$ est un projecteur si et seulement si $id_{E} - p$ est un projecteur.
Si $p$ est un projecteur, alors :

$E = Ker (p) \oplus Im (p) et Im (p) = Ker (p - id_{E}) = {x \in E ∣ p (x) = x} .$

$p$ est alors la projection sur $Im (p)$ parallèlement à $Ker (p)$ .

En dimension finie, le rang d'un projecteur est égal à sa trace :

$rg (p) = tr (p) .$

De $p^{2} = p$ on tire que $X^{2} - X = X (X - 1)$ annule $p$ : c'est un polynôme scindé à racines simples. Un projecteur est donc toujours diagonalisable, avec $Sp (p) \subset {0, 1}$ .

Figure : La projection

p

sur

F

parallèlement à

G

. Tout vecteur se coupe en deux

morceaux, $x = p (x) + (x - p (x))$ , le premier dans $Im (p) = F$ et le second dans $Ker (p) = G$ : c'est la somme directe $E = F \oplus G$ lue sur un vecteur.</div>

Deux remarques sur ce théorème. La première est l'identité $rg (p) = tr (p)$ , qui surprend : elle relie un entier géométrique, la dimension de l'image, à une somme de coefficients diagonaux. Elle se lit sur la forme réduite — dans une base adaptée, la matrice de $p$ est diagonale, formée de $rg (p)$ coefficients $1$ et de zéros — et elle donne le rang sans calculer l'image.

La seconde est un rappel : un projecteur n'est pas déterminé par sa seule image. Parler de « la projection sur $F$ » n'a pas de sens tant qu'on n'a pas dit parallèlement à quoi. Il faut deux données, $Im (p)$ et $Ker (p)$ , et changer la seconde change l'application.

1.4.2 Symétries Vectorielles

Les symétries se lisent exactement de la même façon : $s^{2} = id$ signifie que $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ annule $s$ , polynôme encore scindé à racines simples. Une symétrie est donc diagonalisable, de valeurs propres contenues dans ${- 1, 1}$ , et le théorème suivant montre que projecteurs et symétries sont deux descriptions du même objet.

Définition 1.9Symétrie

Un endomorphisme $s \in L (E)$ est une symétrie vectorielle si :

$s^{2} = s \circ s = id_{E} .$

◆Théorème 1.10Lien entre Projecteurs et Symétries

Si $p$ est un projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ , alors $s = 2 p - id_{E}$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ .
Réciproquement, si $s$ est une symétrie, alors $p = \frac{1}{2} (s + id_{E})$ est un projecteur, et :

$E = Ker (s - id_{E}) \oplus Ker (s + id_{E}) .$

Le dictionnaire $s = 2 p - id$ et $p = \frac{1}{2} (s + id)$ se retient sans peine si l'on regarde ce qu'il fait à un vecteur : le projeté est à mi-chemin entre le vecteur et son symétrique. C'est la lecture de la figure ci-dessous, et c'est aussi la raison pour laquelle la construction cesse d'être valable en caractéristique $2$ , où l'on ne peut pas diviser par $2$ — cas exclu du programme, mais qui explique la présence du facteur.

Figure : La symétrie

s

par rapport à

F

parallèlement à

G

. Le projeté

p (x)

est le milieu de $x$ et de $s (x)$ , ce qui est exactement la relation $s = 2 p - id$ . Les coordonnées sont calculées à partir des directions des deux droites, non ajustées à l'œil.</div>

1.5 Polynômes d'Endomorphismes

1.5.1 Algèbre des Polynômes d'Endomorphismes

Substituer un endomorphisme dans un polynôme paraît anodin ; la conséquence qui compte est que deux polynômes en un même endomorphisme commutent toujours, puisque leur produit se calcule comme dans $K [X]$ , qui est commutatif. C'est cette commutation gratuite qui, combinée à la proposition sur les commutants, rendra stables tous les noyaux $Ker (P (u))$ — et c'est le mécanisme central de la réduction.

Définition 1.11Polynôme d'endomorphisme et d'une matrice

Pour $P (X) = \sum_{k = 0}^{d} a_{k} X^{k} \in K [X]$ et $u \in L (E)$ :

$P (u) = k = 0 \sum d a_{k} u^{k} \in L (E) (avec u^{0} = id_{E}) .$

L'application $K [X] \to L (E), P \mapsto P (u)$ est un morphisme d'algèbres. En particulier, pour tous $P, Q \in K [X]$ :

$(P Q) (u) = P (u) \circ Q (u) = Q (u) \circ P (u) .$

Définition 1.12Polynôme annulateur

Un polynôme $P \in K [X]$ est dit annulateur de $u$ si $P (u) = 0_{L (E)}$ . L'ensemble $I_{u} = {P \in K [X] ∣ P (u) = 0}$ est stable par combinaison linéaire, et absorbe la multiplication : si $P$ annule $u$ , alors $QP$ annule $u$ pour tout $Q \in K [X]$ . En dimension finie $dim E = n$ , $dim L (E) = n^{2} < + \infty$ , donc la famille $(id_{E}, u, u^{2}, \dots, u^{n^{2}})$ est liée et $u$ admet toujours un polynôme annulateur non nul.

L'argument de dimension mérite d'être refait, car il est le seul du chapitre à garantir une existence : dans un espace de dimension finie $n$ , l'algèbre $L (E)$ est de dimension $n^{2}$ , donc la famille des $n^{2} + 1$ endomorphismes $id, u, \dots, u^{n^{2}}$ ne peut pas être libre. Une relation de dépendance linéaire entre eux est exactement un polynôme annulateur non nul. En dimension infinie, cet argument tombe et un endomorphisme peut n'admettre aucun polynôme annulateur.

1.6 Calcul Matriciel et Déterminants

Cette dernière section isole un outil dont l'usage est peu fréquent mais très ciblé : le déterminant de Vandermonde, qui décide de la liberté de familles très courantes.

1.6.1 Déterminant de Vandermonde

Ce déterminant est celui qui revient le plus souvent, parce qu'il répond à une question très concrète : une famille construite sur $n$ scalaires deux à deux distincts est-elle libre ? Sa valeur, un produit de différences, tranche d'un seul coup — elle est non nulle exactement quand les scalaires le sont deux à deux.

◆Théorème 1.13Déterminant de Vandermonde

Soient $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in K$ . Le déterminant de Vandermonde d'ordre $n$ est :

$V (x_{1}, \dots, x_{n}) = 11 ⋮ 1 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} x_{1}^{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots x_{1}^{n - 1} x_{2}^{n - 1} ⋮ x_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) .$

En particulier, $V (x_{1}, \dots, x_{n}) \neq = 0$ si et seulement si les scalaires $x_{i}$ sont deux à deux distincts.

Ce déterminant sert deux fois dans le programme, et il vaut la peine de reconnaître les deux situations. La première est l'interpolation : un polynôme de degré $\leq n - 1$ est entièrement déterminé par ses valeurs en $n$ points distincts, parce que le système correspondant a précisément une matrice de Vandermonde, donc inversible. La seconde est la liberté de familles de la forme $(x \mapsto e^{a_{i} x})_{i}$ ou $(n \mapsto a_{i}^{n})_{i}$ avec des $a_{i}$ distincts : une relation de dépendance y conduit à un système de Vandermonde homogène, dont l'inversibilité force tous les coefficients à être nuls.

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