Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année)

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2.1 Introduction et vue d'ensemble

La théorie de la réduction a pour objectif de trouver, pour un endomorphisme ou une matrice carrée donnée, une base de l'espace dans laquelle sa représentation matricielle est la plus simple possible (diagonale ou triangulaire). Elle constitue un outil fondamental pour le calcul des puissances de matrices $A^{k}$ , la résolution des systèmes différentiels linéaires $X ˙ = A X$ , le comportement asymptotique des suites récurrentes et l'analyse spectrale en mécanique quantique et en physique des ondes.

2.2 Éléments Propres et Polynôme Caractéristique

2.2.1 Valeurs Propres, Vecteurs Propres et Sous-espaces Propres

Un vecteur propre est une direction que $u$ se contente de dilater : sur cette droite, l'endomorphisme n'est plus qu'une multiplication par un scalaire. Chercher les éléments propres, c'est donc chercher les directions sur lesquelles l'application devient triviale — et si l'on en trouve assez pour engendrer $E$ , l'endomorphisme tout entier devient une simple famille de dilatations. C'est le programme du chapitre.

Définition 2.1Valeurs propres, vecteurs propres et spectre

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ .

Un scalaire $λ \in K$ est appelé valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non nul $x \in E ∖ {0}$ tel que :

$u (x) = λ x ⟺ (u - λ id_{E}) (x) = 0.$

Un tel vecteur $x \neq = 0$ est appelé un vecteur propre associé à la valeur propre $λ$ .
Le sous-espace propre associé à $λ$ est le sous-espace :

$E_{λ} (u) = Ker (u - λ id_{E}) = {x \in E ∣ u (x) = λ x} .$

On a $dim E_{λ} (u) \geq 1$ , et l'ensemble des vecteurs propres associés à $λ$ est $E_{λ} (u) ∖ {0}$ .

L'ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé le spectre de $u$ , noté $Sp (u)$ ou $Sp_{K} (u)$ .

Important

Deux dissymétries de vocabulaire, sources d'erreurs constantes. Le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre — sinon tout scalaire serait valeur propre, puisque $u (0) = λ \cdot 0$ pour tout $λ$ — alors que le scalaire $0$ peut parfaitement être une valeur propre : cela signifie exactement que $u$ n'est pas injective, puisque $E_{0} (u) = Ker (u)$ .

Ensuite, le spectre dépend du corps $K$ . La rotation d'angle $π /2$ du plan réel n'a aucune valeur propre dans $R$ — aucune direction n'est préservée — et en a deux, $\pm i$ , dans $C$ . C'est pourquoi la notation $Sp_{K} (u)$ précise le corps, et pourquoi un énoncé qui demande de diagonaliser commence toujours par dire où.

◆Théorème 2.2Somme directe des sous-espaces propres

Soit $u \in L (E)$ . Une famille de sous-espaces propres $(E_{λ_{1}} (u), E_{λ_{2}} (u), \dots, E_{λ_{k}} (u))$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ est toujours en somme directe :

$i = 1 \sum k E_{λ_{i}} (u) = i = 1 ⨁ k E_{λ_{i}} (u) .$

En particulier, toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

La conséquence immédiate est un compte : les sous-espaces propres étant en somme directe, la somme de leurs dimensions ne peut dépasser $n$ , donc un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes. C'est la borne qu'on invoque pour clore une discussion sans calculer.

Le procédé de la démonstration mérite aussi d'être retenu, car il resservira : appliquer $u$ à la relation de dépendance, puis en retrancher $λ_{k}$ fois la relation d'origine, ce qui fait disparaître un terme et permet la récurrence.

Figure : L'action d'un endomorphisme diagonalisable, lue sur un vecteur. Décomposé en

$x = v_{1} + v_{2}$ sur deux directions propres, $x$ est envoyé sur $λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2}$ : chaque composante est simplement dilatée, ici d'un facteur $2$ et d'un facteur $- 1$ . La somme directe des sous-espaces propres est exactement ce qui rend cette lecture possible.</div>

Démonstration

Par récurrence sur $k \geq 1$ . Pour $k = 1$ , c'est trivial.
Supposons la propriété vraie pour $k - 1$ valeurs propres. Soient $x_{1} \in E_{λ_{1}} (u), \dots, x_{k} \in E_{λ_{k}} (u)$ tels que $\sum_{i = 1}^{k} x_{i} = 0$ .
En appliquant $u$ : $\sum_{i = 1}^{k} λ_{i} x_{i} = 0$ . En retranchant $λ_{k} \sum_{i = 1}^{k} x_{i} = 0$ , on obtient :

$i = 1 \sum k - 1 (λ_{i} - λ_{k}) x_{i} = 0.$

Comme $x_{i} \in E_{λ_{i}} (u)$ , par hypothèse de récurrence sur la somme directe de $k - 1$ espaces, chaque terme s'annule : $(λ_{i} - λ_{k}) x_{i} = 0$ . Comme $λ_{i} \neq = λ_{k}$ pour $i < k$ , on a $x_{i} = 0$ pour tout $1 \leq i \leq k - 1$ , et donc aussi $x_{k} = 0$ . La somme est directe.

2.2.2 Polynôme Caractéristique

Le polynôme caractéristique transforme la recherche des valeurs propres, qui est un problème d'existence de solutions non nulles, en un problème de racines. C'est le passage de l'algèbre linéaire à l'algèbre des polynômes, et c'est lui qui rend le calcul effectif.

Définition 2.3Polynôme caractéristique

Soit $E$ un espace de dimension finie $n$ , et $u \in L (E)$ (ou $A \in M_{n} (K)$ ). Le polynôme caractéristique de $u$ est le polynôme unitaire de degré $n$ défini par :

$χ_{u} (X) = det (X id_{E} - u) = X^{n} - tr (u) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} det (u) .$

Deux coefficients de ce polynôme se lisent sans le calculer, et ils fournissent un contrôle gratuit sur tout calcul de valeurs propres : lorsque $χ_{u}$ est scindé, la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité vaut la trace, et leur produit vaut le déterminant. Avant de poursuivre un exercice, il faut toujours vérifier ces deux égalités sur les racines trouvées ; elles attrapent la plupart des erreurs de signe.

Noter enfin la convention : on définit $χ_{u}$ par $det (X id - u)$ , ce qui le rend unitaire. Certains ouvrages posent $det (u - X id)$ , qui en diffère du facteur $(- 1)^{n}$ ; les racines sont les mêmes, mais les coefficients changent de signe.

◆Théorème 2.4Propriétés du polynôme caractéristique

Les valeurs propres de $u$ dans $K$ sont exactement les racines de $χ_{u}$ dans $K$ :

$λ \in Sp (u) ⟺ χ_{u} (λ) = 0.$

Invariance par similitude : Si $A$ et $B$ sont semblables ( $B = P^{- 1} A P$ ), alors $χ_{A} (X) = χ_{B} (X)$ .
Multiplicité algébrique vs Dimension géométrique : Pour toute valeur propre $λ \in Sp (u)$ de multiplicité algébrique $m_{λ}$ dans $χ_{u} (X)$ :

$1 \leq dim E_{λ} (u) \leq m_{λ} .$

Ce troisième point est l'inégalité centrale du chapitre, et il faut la lire comme une marge. La multiplicité algébrique $m_{λ}$ est ce que le polynôme caractéristique promet ; la dimension géométrique $dim E_{λ}$ est ce que l'espace propre livre effectivement. Elle peut être strictement plus petite, et c'est exactement ce défaut qui empêche la diagonalisation.

La matrice $(1011)$ en donne le plus petit exemple : $χ (X) = (X - 1)^{2}$ promet $m_{1} = 2$ , mais $Ker (A - I_{2})$ est la droite engendrée par $(1, 0)$ , de dimension $1$ . Il manque une direction propre, et la matrice n'est pas diagonalisable. Toute la section suivante consiste à dire que la diagonalisabilité, c'est le cas d'égalité pour chaque valeur propre.

Démonstration (Démonstration de l'inégalité

dim E_{λ} (u) \leq m_{λ}

)

Soit $d = dim E_{λ} (u)$ . Soit $(e_{1}, \dots, e_{d})$ une base de $E_{λ} (u)$ , que l'on complète en une base $B = (e_{1}, \dots, e_{d}, e_{d + 1}, \dots, e_{n})$ de $E$ . La matrice de $u$ dans la base $B$ est triangulaire par blocs :

$Mat_{B} (u) = (λ I_{d} 0 B C), avec C \in M_{n - d} (K) .$

Par le déterminant par blocs : $χ_{u} (X) = det (X I_{n} - Mat_{B} (u)) = det ((X - λ) I_{d}) \cdot det (X I_{n - d} - C) = (X - λ)^{d} χ_{C} (X)$ . Donc $(X - λ)^{d}$ divise $χ_{u} (X)$ , ce qui prouve que $d = dim E_{λ} (u) \leq m_{λ}$ .

2.3 Diagonalisabilité des Endomorphismes et Matrices

2.3.1 Théorèmes Fondamentaux de Diagonalisabilité

Le théorème qui suit énonce cinq conditions équivalentes, ce qui décourage. Elles se rangent en réalité en deux familles, et savoir laquelle employer est tout le savoir-faire du chapitre.

Les conditions $2$ , $3$ et $4$ raisonnent sur les sous-espaces propres : elles demandent de les calculer, donc de résoudre des systèmes, et donnent en prime une base de vecteurs propres. C'est la voie du calcul, celle qu'on suit lorsque l'énoncé demande la matrice de passage.

La condition $5$ raisonne sur un polynôme annulateur : elle ne calcule rien et conclut en une ligne dès qu'une relation comme $u^{2} = u$ ou $u^{3} = u$ est donnée. C'est la voie de la démonstration, et c'est presque toujours celle qu'attend une question du type « montrer que $u$ est diagonalisable ».

Définition 2.5Endomorphisme et Matrice diagonalisables

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit diagonalisable s'il existe une base $B$ de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ , dans laquelle $Mat_{B} (u)$ est une matrice diagonale. Une matrice $A \in M_{n} (K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale : il existe $P \in GL_{n} (K)$ et $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ telles que $A = P D P^{- 1}$ .

◆Théorème 2.6Critères d'équivalence pour la diagonalisabilité

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable.
$E$ est somme directe de ses sous-espaces propres : $E = ⨁_{λ \in Sp (u)} E_{λ} (u)$ .
La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$ : $\sum_{λ \in Sp (u)} dim E_{λ} (u) = n$ .
Le polynôme caractéristique $χ_{u} (X)$ est scindé sur $K$ et, pour chaque valeur propre $λ$ , la multiplicité algébrique est égale à la dimension du sous-espace propre :

$\forall λ \in Sp (u), dim E_{λ} (u) = m_{λ} .$

Il existe un polynôme annulateur $P \in K [X]$ de $u$ scindé à racines simples sur $K$ .

Figure : Les deux questions qui décident, dans l'ordre. Le caractère scindé de

χ_{u}

sépare d'abord ce qui est trigonalisable de ce qui ne l'est pas ; la comparaison des dimensions sépare ensuite le diagonalisable du reste. La voie des polynômes annulateurs court-circuite les deux.</div>

Important

La condition $5$ réclame un polynôme annulateur scindé à racines simples, et l'oubli de « simples » est l'erreur la plus fréquente. Le polynôme $(X - 1)^{2}$ annule la matrice $(1011)$ de l'exemple précédent, il est scindé, et pourtant cette matrice n'est pas diagonalisable. C'est la simplicité des racines qui fait tout le travail : elle force les facteurs à découper l'espace en sous-espaces propres, et non en sous-espaces plus gros.

Méthode : Diagonaliser en pratique

Chercher d'abord un polynôme annulateur évident : une relation donnée par l'énoncé, une matrice de projecteur ou de symétrie, une matrice nilpotente. S'il est scindé à racines simples, la conclusion est immédiate et il n'y a rien à calculer.
Sinon, calculer $χ_{u}$ et le factoriser. S'il a $n$ racines distinctes, c'est fini par le corollaire.
En cas de racine multiple, calculer $dim E_{λ}$ pour chacune et le comparer à $m_{λ}$ . Une seule inégalité stricte suffit à conclure que $u$ n'est pas diagonalisable — il est inutile de traiter les autres.
Si l'égalité vaut partout, réunir les bases des sous-espaces propres : elles forment la base cherchée, et $P$ est la matrice de leurs coordonnées.

↳Corollaire 2.7Condition suffisante très fréquente

Si le polynôme caractéristique $χ_{u} (X)$ est scindé sur $K$ et admet $n$ racines simples deux à deux distinctes ( $Card (Sp (u)) = n$ ), alors $u$ est diagonalisable.

Cette condition est suffisante et non nécessaire, ce qui se voit sur l'identité : elle est diagonale, donc diagonalisable, et n'a pourtant qu'une seule valeur propre. Conclure « $χ_{u}$ a une racine double, donc $u$ n'est pas diagonalisable » est une faute — c'est précisément le cas où il faut aller comparer $dim E_{λ}$ à $m_{λ}$ .

Figure : Ce que l'on gagne : dans une base de vecteurs propres, la matrice est diagonale,

et toute puissance se calcule en élevant les seules valeurs propres à la puissance voulue.</div>

L'intérêt pratique de la diagonalisation apparaît dès qu'on veut itérer : $A^{k}$ se calcule en élevant les seules valeurs propres à la puissance $k$ , ce qui donne les suites récurrentes linéaires.

2.4 Trigonalisation et Théorème de Cayley-Hamilton

Tout endomorphisme n'est pas diagonalisable, mais sur $C$ — ou dès que le polynôme caractéristique est scindé — il est toujours trigonalisable. C'est un résultat d'existence, et sa portée est plus grande qu'il n'y paraît : il permet de raisonner sur les valeurs propres même quand on ne sait pas diagonaliser.

Le théorème de Cayley-Hamilton en est l'illustration la plus frappante : un endomorphisme annule son propre polynôme caractéristique. Il fournit donc un polynôme annulateur gratuitement, sans le chercher — et de là, l'inverse d'une matrice inversible comme polynôme en cette matrice, ou le calcul de ses puissances par division euclidienne.

Important

La « démonstration » qui consiste à écrire $χ_{A} (A) = det (A - A I) = 0$ est fausse : $χ_{A} (X)$ est un déterminant de matrice à coefficients polynomiaux, on ne peut pas y substituer une matrice à la place du scalaire $X$ .

2.4.1 Trigonalisation

Définition 2.8Endomorphisme et Matrice trigonalisables

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit trigonalisable s'il existe une base $B$ de $E$ dans laquelle $Mat_{B} (u)$ est triangulaire supérieure.

◆Théorème 2.9Théorème de Trigonalisation

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ . $u$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $χ_{u} (X)$ est scindé sur $K$ . En particulier, sur $C$ , par le théorème fondamental de l'algèbre (d'Alembert-Gauss), tout endomorphisme et toute matrice carrée complexe est trigonalisable.

2.4.2 Théorème de Cayley-Hamilton

◆Théorème 2.10Théorème de Cayley-Hamilton

Pour tout endomorphisme $u \in L (E)$ (ou toute matrice $A \in M_{n} (K)$ ) :

$χ_{u} (u) = 0_{L (E)} (respectivement χ_{A} (A) = 0_{M_{n} (K)}) .$

Le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de $u$ .

Démonstration (Démonstration dans le cas trigonalisable)

Si $χ_{u}$ est scindé : $χ_{u} (X) = \prod_{i = 1}^{n} (X - λ_{i})$ . Il existe une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure avec les $(λ_{i})$ sur la diagonale.
Posons $F_{k} = Vect (e_{1}, \dots, e_{k})$ pour $1 \leq k \leq n$ (avec $F_{0} = {0}$ ).
On a $u (e_{k}) = λ_{k} e_{k} + y_{k}$ avec $y_{k} \in F_{k - 1}$ , ce qui signifie que $(u - λ_{k} id_{E}) (F_{k}) \subset F_{k - 1}$ .
Par composition successive :

$χ_{u} (u) (E) = (u - λ_{1} id_{E}) \circ \dots \circ (u - λ_{n} id_{E}) (F_{n}) \subset (u - λ_{1} id_{E}) \circ \dots \circ (u - λ_{n - 1} id_{E}) (F_{n - 1}) \subset \dots \subset F_{0} = {0} .$

Ainsi $χ_{u} (u) = 0$ .

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