Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice symétrique transforme le cercle en ellipse : ses vecteurs propres donnent les axes et ne changent pas de direction.

2.1 Introduction et vue d'ensemble

La théorie de la réduction a pour objectif de trouver, pour un endomorphisme ou une matrice carrée donnée, une base de l'espace dans laquelle sa représentation matricielle est la plus simple possible (diagonale ou triangulaire). Elle constitue un outil fondamental pour le calcul des puissances de matrices $A^{k}$ , la résolution des systèmes différentiels linéaires $X ˙ = A X$ , le comportement asymptotique des suites récurrentes et l'analyse spectrale en mécanique quantique et en physique des ondes.

2.2 Éléments Propres et Polynôme Caractéristique

2.2.1 Valeurs Propres, Vecteurs Propres et Sous-espaces Propres

Un vecteur propre est une direction que $u$ se contente de dilater : sur cette droite, l'endomorphisme n'est plus qu'une multiplication par un scalaire. Chercher les éléments propres, c'est donc chercher les directions sur lesquelles l'application devient triviale — et si l'on en trouve assez pour engendrer $E$ , l'endomorphisme tout entier devient une simple famille de dilatations. C'est le programme du chapitre.

Définition 2.1Valeurs propres, vecteurs propres et spectre

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ .

Un scalaire $λ \in K$ est appelé valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non nul $x \in E ∖ {0}$ tel que :

$u (x) = λ x ⟺ (u - λ id_{E}) (x) = 0.$

Un tel vecteur $x \neq = 0$ est appelé un vecteur propre associé à la valeur propre $λ$ .
Le sous-espace propre associé à $λ$ est le sous-espace :

$E_{λ} (u) = Ker (u - λ id_{E}) = {x \in E ∣ u (x) = λ x} .$

On a $dim E_{λ} (u) \geq 1$ , et l'ensemble des vecteurs propres associés à $λ$ est $E_{λ} (u) ∖ {0}$ .

L'ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé le spectre de $u$ , noté $Sp (u)$ ou $Sp_{K} (u)$ .

Important

Deux dissymétries de vocabulaire, sources d'erreurs constantes. Le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre — sinon tout scalaire serait valeur propre, puisque $u (0) = λ \cdot 0$ pour tout $λ$ — alors que le scalaire $0$ peut parfaitement être une valeur propre : cela signifie exactement que $u$ n'est pas injective, puisque $E_{0} (u) = Ker (u)$ .

Ensuite, le spectre dépend du corps $K$ . La rotation d'angle $π /2$ du plan réel n'a aucune valeur propre dans $R$ — aucune direction n'est préservée — et en a deux, $\pm i$ , dans $C$ . C'est pourquoi la notation $Sp_{K} (u)$ précise le corps, et pourquoi un énoncé qui demande de diagonaliser commence toujours par dire où.

◆Théorème 2.2Somme directe des sous-espaces propres

Soit $u \in L (E)$ . Une famille de sous-espaces propres $(E_{λ_{1}} (u), E_{λ_{2}} (u), \dots, E_{λ_{k}} (u))$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ est toujours en somme directe :

$i = 1 \sum k E_{λ_{i}} (u) = i = 1 ⨁ k E_{λ_{i}} (u) .$

En particulier, toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

La conséquence immédiate est un compte : les sous-espaces propres étant en somme directe, la somme de leurs dimensions ne peut dépasser $n$ , donc un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes. C'est la borne qu'on invoque pour clore une discussion sans calculer.

Le procédé de la démonstration mérite aussi d'être retenu, car il resservira : appliquer $u$ à la relation de dépendance, puis en retrancher $λ_{k}$ fois la relation d'origine, ce qui fait disparaître un terme et permet la récurrence.

Figure : L'action d'un endomorphisme diagonalisable, lue sur un vecteur. Décomposé en

$x = v_{1} + v_{2}$ sur deux directions propres, $x$ est envoyé sur $λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2}$ : chaque composante est simplement dilatée, ici d'un facteur $2$ et d'un facteur $- 1$ . La somme directe des sous-espaces

propres est exactement ce qui rend cette lecture possible.

Démonstration

Par récurrence sur $k \geq 1$ . Pour $k = 1$ , c'est trivial.
Supposons la propriété vraie pour $k - 1$ valeurs propres. Soient $x_{1} \in E_{λ_{1}} (u), \dots, x_{k} \in E_{λ_{k}} (u)$ tels que $\sum_{i = 1}^{k} x_{i} = 0$ .
En appliquant $u$ : $\sum_{i = 1}^{k} λ_{i} x_{i} = 0$ . En retranchant $λ_{k} \sum_{i = 1}^{k} x_{i} = 0$ , on obtient :

$i = 1 \sum k - 1 (λ_{i} - λ_{k}) x_{i} = 0.$

Comme $x_{i} \in E_{λ_{i}} (u)$ , par hypothèse de récurrence sur la somme directe de $k - 1$ espaces, chaque terme s'annule : $(λ_{i} - λ_{k}) x_{i} = 0$ . Comme $λ_{i} \neq = λ_{k}$ pour $i < k$ , on a $x_{i} = 0$ pour tout $1 \leq i \leq k - 1$ , et donc aussi $x_{k} = 0$ . La somme est directe.

Exercices du chapitre

Premiers éléments propres corrigé
Lire un spectre corrigé
Diagonalisation complète en dimension 3 corrigé
Puissances par diagonalisation corrigé
Diagonaliser sans rien calculer corrigé
Commutant d'une matrice à spectre simple corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre