Espaces Préhilbertiens et Espaces Euclidiens

3.1 Introduction et vue d'ensemble

L'introduction d'un produit scalaire sur un espace vectoriel réel permet de doter l'espace d'une géométrie euclidienne complète : notion de longueur (norme), d'angle, d'orthogonalité et de projection orthogonale. En dimension finie, un tel espace est appelé un espace euclidien. Cette structure est au cœur de l'optimisation par moindres carrés, de l'approximation au sens des fonctions de carré intégrable $L^2$, des polynômes orthogonaux (Legendre, Tchebychev, Hermite) et de la mécanique rationnelle.

3.2 Produit Scalaire et Norme Euclidienne

Tout ce chapitre découle d'un seul nombre. Une fois qu'on sait associer à deux vecteurs le réel $⟨x,y⟩$, la longueur vient en posant $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ ; l'inégalité de Cauchy-Schwarz montre ensuite que le quotient $⟨x,y⟩/(\Vert x\Vert \Vert y\Vert )$ reste dans $[-1,1]$, donc qu'il mérite le nom de cosinus, et l'angle apparaît ; le cas particulier $⟨x,y⟩=0$ devient l'orthogonalité, d'où la décomposition $E=F\oplus F^{\perp }$, et l'on peut enfin projeter.

L'intérêt n'est pas la généralité : c'est que des espaces où aucune géométrie n'est visible — les fonctions continues, les matrices, les polynômes — héritent d'un coup de la longueur, de l'angle et de la perpendiculaire. Deux fonctions peuvent dès lors être orthogonales, phrase dénuée de sens au départ, et c'est exactement ce sur quoi repose l'analyse de Fourier.

3.2.1 Définitions Fondamentales

Les trois exemples à connaître par cœur, parce qu'ils fournissent la quasi-totalité des énoncés de concours, sont

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}fg\text{ sur }\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{t}AB)\text{ sur }{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),$$

et $⟨P,Q⟩={\sum }_{k=0}^{n}P(x_k)Q(x_k)$ pour $n+1$ points distincts. Dans chacun, la bilinéarité et la symétrie sont immédiates et tout se joue sur le caractère défini : l'intégrale ${\int }_a^b{f}^2$ ne s'annule que pour $f$ nulle parce que $f$ est continue, et la somme $\sum P(x_k{)}^2$ parce qu'un polynôme de degré $\le n$ ayant $n+1$ racines est nul. Changez « continue » en « continue par morceaux », ou ${\mathbb{R}}_n[X]$ en ${\mathbb{R}}_{n+1}[X]$, et la propriété tombe.

3.2.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

L'inégalité qui suit est ce qui donne un sens au mot angle dans un espace abstrait : elle seule garantit que le quotient $⟨x,y⟩/(\Vert x\Vert \Vert y\Vert )$ appartient à $[-1,1]$, et permet donc de poser $\cos \theta$ égal à ce quotient.

Démonstration

Pour tout $t\in \mathbb{R}$, considérons la quantité positive :

$$P(t)=\Vert tx+y{\Vert }^2=⟨tx+y,tx+y⟩=t^2\Vert x{\Vert }^2+2t⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2\ge 0.$$

Si $x=0$, l'inégalité est trivialement vérifiée avec égalité ($0\le 0$).
Si $x\ne 0$, alors $\Vert x{\Vert }^2>0$ et $P(t)$ est un trinôme du second degré en $t$ qui ne change jamais de signe (positif ou nul sur $\mathbb{R}$). Son discriminant réduit ${\Delta }^{\prime }$ est donc nécessairement négatif ou nul :

$${\Delta }^{\prime }=⟨x,y{⟩}^2-\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2\le 0⟹|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert .$$

Le cas d'égalité ${\Delta }^{\prime }=0$ correspond à l'existence d'une racine réelle $t_0$, donc $\Vert t_{0}x+y{\Vert }^2=0⟺y=-t_{0}x$, ce qui montre que $(x,y)$ est liée.

Deux choses sont à retenir au-delà de l'énoncé. Le procédé de démonstration d'abord — introduire le trinôme $t\mapsto \Vert x+ty{\Vert }^2$, invoquer sa positivité, conclure par le discriminant — parce qu'il est redemandé tel quel sur des intégrales. Le cas d'égalité ensuite, qui est la moitié utile de l'énoncé : c'est lui qui permet, une majoration obtenue, de dire quand elle est atteinte, donc de résoudre le problème d'optimisation sous-jacent.