Espaces Préhilbertiens et Espaces Euclidiens

3.1 Introduction et vue d'ensemble

L'introduction d'un produit scalaire sur un espace vectoriel réel permet de doter l'espace d'une géométrie euclidienne complète : notion de longueur (norme), d'angle, d'orthogonalité et de projection orthogonale. En dimension finie, un tel espace est appelé un espace euclidien. Cette structure est au cœur de l'optimisation par moindres carrés, de l'approximation au sens des fonctions de carré intégrable $L^2$, des polynômes orthogonaux (Legendre, Tchebychev, Hermite) et de la mécanique rationnelle.

3.2 Produit Scalaire et Norme Euclidienne

Tout ce chapitre découle d'un seul nombre. Une fois qu'on sait associer à deux vecteurs le réel $⟨x,y⟩$, la longueur vient en posant $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ ; l'inégalité de Cauchy-Schwarz montre ensuite que le quotient $⟨x,y⟩/(\Vert x\Vert \Vert y\Vert )$ reste dans $[-1,1]$, donc qu'il mérite le nom de cosinus, et l'angle apparaît ; le cas particulier $⟨x,y⟩=0$ devient l'orthogonalité, d'où la décomposition $E=F\oplus F^{\perp }$, et l'on peut enfin projeter.

L'intérêt n'est pas la généralité : c'est que des espaces où aucune géométrie n'est visible — les fonctions continues, les matrices, les polynômes — héritent d'un coup de la longueur, de l'angle et de la perpendiculaire. Deux fonctions peuvent dès lors être orthogonales, phrase dénuée de sens au départ, et c'est exactement ce sur quoi repose l'analyse de Fourier.

3.2.1 Définitions Fondamentales

Les trois exemples à connaître par cœur, parce qu'ils fournissent la quasi-totalité des énoncés de concours, sont

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}fg\text{ sur }\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{t}AB)\text{ sur }{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),$$

et $⟨P,Q⟩={\sum }_{k=0}^{n}P(x_k)Q(x_k)$ pour $n+1$ points distincts. Dans chacun, la bilinéarité et la symétrie sont immédiates et tout se joue sur le caractère défini : l'intégrale ${\int }_a^b{f}^2$ ne s'annule que pour $f$ nulle parce que $f$ est continue, et la somme $\sum P(x_k{)}^2$ parce qu'un polynôme de degré $\le n$ ayant $n+1$ racines est nul. Changez « continue » en « continue par morceaux », ou ${\mathbb{R}}_n[X]$ en ${\mathbb{R}}_{n+1}[X]$, et la propriété tombe.

3.2.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

L'inégalité qui suit est ce qui donne un sens au mot angle dans un espace abstrait : elle seule garantit que le quotient $⟨x,y⟩/(\Vert x\Vert \Vert y\Vert )$ appartient à $[-1,1]$, et permet donc de poser $\cos \theta$ égal à ce quotient.

Deux choses sont à retenir au-delà de l'énoncé. Le procédé de démonstration d'abord — introduire le trinôme $t\mapsto \Vert x+ty{\Vert }^2$, invoquer sa positivité, conclure par le discriminant — parce qu'il est redemandé tel quel sur des intégrales. Le cas d'égalité ensuite, qui est la moitié utile de l'énoncé : c'est lui qui permet, une majoration obtenue, de dire quand elle est atteinte, donc de résoudre le problème d'optimisation sous-jacent.

L'inégalité suivante en est une conséquence, obtenue en développant $\Vert x+y{\Vert }^2$ et en majorant le terme croisé. Son statut compte : c'est elle qui achève de prouver que $\Vert \cdot \Vert$ est une norme au sens du cours d'analyse.

Les identités suivantes se lisent dans deux directions opposées, et c'est ce contraste qu'il faut retenir.

Les deux identités se lisent dans des directions opposées. Les identités de polarisation montrent que le produit scalaire se reconstruit à partir de la seule norme : rien n'est perdu en passant de $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ à $\Vert \cdot \Vert$. L'identité du parallélogramme, elle, est un test : toute norme issue d'un produit scalaire la vérifie, donc une norme qui la met en défaut ne peut provenir d'aucun produit scalaire. Sur ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, avec $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$, le membre de gauche vaut $2$ et le membre de droite $4$ : la norme infinie n'est euclidienne pour aucun produit scalaire. Un contre-exemple qui tient en trois lignes, et qu'on attend le jour du concours.

Figure : L'identité du parallélogramme, dans son sens géométrique : la somme des carrés des

deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés. Sur la figure, $\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}{\Vert }^2=23,84+6,56=30,40$, et $2(\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{y}{\Vert }^2)=2(9,36+5,84)=30,40$.</div>

3.3 Orthogonalité et Familles Orthonormées

L'orthogonalité n'est pas une propriété intrinsèque de deux vecteurs : elle dépend du produit scalaire choisi. Les polynômes $1$ et $X$ sont orthogonaux pour ${\int }_{-1}^{1}PQ$ et ne le sont pas pour ${\int }_0^{1}PQ$, dont le produit vaut $1/2$. Lorsqu'un énoncé demande une base orthonormale, il faut donc toujours revenir au produit scalaire qu'il a défini, jamais au produit scalaire usuel des coordonnées.

3.3.1 Orthogonalité et Théorème de Pythagore

Définition 3.6Orthogonalité

Deux vecteurs $x,y\in E$ sont dits orthogonaux, noté $x\perp y$, si $⟨x,y⟩=0$. Une famille $(x_i{)}_{i\in I}$ est dite orthogonale si $\forall i\ne j,⟨x_i,x_j⟩=0$. Elle est dite orthonormée (ou orthonormale) si elle est orthogonale et que $\forall i\in I,\Vert x_i\Vert =1$ ($⟨x_i,x_j⟩={\delta }_{i,j}$).

◆Théorème 3.7Théorème de Pythagore

Soit $(x_1,\dots ,x_k)$ une famille orthogonale de vecteurs de $E$. Alors :

$${\Vert \sum _{i=1}^k{x}_i\Vert }^2=\sum _{i=1}^k\Vert x_i{\Vert }^2.$$

En particulier, toute famille orthogonale de vecteurs tous non nuls est libre.

3.3.2 Procédé d'Orthonormalisation de Gram-Schmidt

L'équivalence du théorème de Pythagore est une particularité du cas réel : elle repose sur $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2$, où le terme croisé est un réel qui s'annule si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. Dans un espace hermitien, seule l'implication directe subsiste.

Reste à savoir si une base orthonormale existe. La réponse est oui, et elle est constructive : c'est l'objet de l'algorithme qui suit.

◆Théorème 3.8Algorithme de Gram-Schmidt

Soit $(u_1,u_2,\dots ,u_p)$ une famille libre d'un espace préhilbertien $E$. Il existe une unique famille orthonormée $(e_1,e_2,\dots ,e_p)$ telle que pour tout $k\in [[1,p]]$ :

• $\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_k)=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_k)$.
• $⟨e_k,u_k⟩>0$.

L'algorithme de construction s'écrit explicitement :

$$v_1=u_1,e_1=\frac{v_1}{\Vert v_1\Vert },$$

et pour tout $k\in [[2,p]]$ :

$$v_k=u_k-\sum _{j=1}^{k-1}⟨u_k,e_j⟩e_j,e_k=\frac{v_k}{\Vert v_k\Vert }.$$

Figure : La première étape de Gram-Schmidt : on retranche à ${\overrightarrow{u}}_2$ sa composante le

long de ${\overrightarrow{u}}_1$, et ce qui reste, ${\overrightarrow{v}}_2$, est orthogonal à ${\overrightarrow{u}}_1$. La base cherchée s'obtient en normalisant. Les vecteurs sont exacts : le projeté vaut $(2;0)$ et ${\overrightarrow{v}}_2=(0;2,5)$, de produit scalaire nul avec ${\overrightarrow{u}}_1$.</div>

La vraie substance de l'algorithme n'est pas la formule mais la propriété d'emboîtement : à chaque étape, les $k$ premiers vecteurs construits engendrent le même sous-espace que les $k$ premiers vecteurs de départ. C'est elle qui garantit qu'on n'a rien perdu en orthonormalisant, et c'est elle qui interviendra dans le calcul des projections.

Important

L'ordre des vecteurs n'est pas indifférent : permuter ${\overrightarrow{u}}_1$ et ${\overrightarrow{u}}_2$ change la base obtenue, puisque ${\overrightarrow{e}}_1$ est toujours colinéaire à ${\overrightarrow{u}}_1$. Deux orthonormalisations d'une même famille prise dans deux ordres différents engendrent le même espace sans coïncider.

En pratique, on n'applique jamais la formule générale telle quelle : on orthogonalise d'abord, un vecteur après l'autre, en gardant des coordonnées entières autant que possible, et l'on ne normalise qu'à la toute fin — ce qui évite de traîner des racines carrées dans tous les calculs intermédiaires.

3.4 Projection Orthogonale et Distance à un Sous-espace

Le chapitre d'algèbre linéaire avait laissé une question ouverte : parler de « la projection sur $F$ » n'a pas de sens, car un projecteur exige la donnée d'un supplémentaire, et $F$ en possède une infinité. Le produit scalaire lève exactement cette indétermination : parmi tous les supplémentaires de $F$, il en désigne un, $F^{\perp }$, et « la projection orthogonale sur $F$ » devient une expression licite. C'est le service que rend le théorème suivant.

3.4.1 Sous-espace Orthogonal et Supplémentaire Orthogonal

◆Théorème 3.9Supplémentaire orthogonal en dimension finie

Soit $E$ un espace préhilbertien et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. Alors :

$$E=F\oplus F^{\perp }.$$

En particulier, si $E$ est un espace euclidien de dimension $n$, alors pour tout sous-espace $F$ :

$$\dim F^{\perp }=n-\dim F\text{et}(F^{\perp }{)}^{\perp }=F.$$

3.4.2 Projection Orthogonale et Meilleure Approximation

L'hypothèse « $F$ de dimension finie » n'est pas une précaution de rédaction. En dimension infinie, un sous-espace peut être d'orthogonal réduit à $\{0\}$ sans être $E$ tout entier. Dans le programme de PSI, $F$ est toujours de dimension finie — mais $E$, lui, ne l'est pas nécessairement, et c'est le cas qui rend le chapitre utile : approcher une fonction par un polynôme de degré $\le n$, c'est projeter un vecteur d'un espace de dimension infinie sur un sous-espace de dimension finie.

Définition 3.10Projecteur orthogonal

Le projecteur orthogonal sur $F$, noté $p_F$, est l'unique endomorphisme vérifiant :

$$\mathrm{Im}(p_F)=F\text{et}\mathrm{Ker}(p_F)=F^{\perp }.$$

Si $(e_1,\dots ,e_p)$ est une base orthonormée de $F$, alors pour tout $x\in E$ :

$$p_F(x)=\sum _{i=1}^p⟨x,e_i⟩e_i.$$

Figure : La projection orthogonale de $\overrightarrow{x}$ sur $F$ : l'écart

$\overrightarrow{x}-p_F(\overrightarrow{x})$ est porté par $F^{\perp }$, et c'est cette orthogonalité qui caractérise $p_F(\overrightarrow{x})$. Le théorème de la meilleure approximation, plus bas, en déduit que ce pied de perpendiculaire est le point de $F$ le plus proche de $\overrightarrow{x}$.</div>

Voici le théorème vers lequel tend le chapitre. Il dit qu'un problème de minimisation posé sur un ensemble infini — trouver, parmi tous les vecteurs de $F$, le plus proche de $\overrightarrow{x}$ — admet une solution, qu'elle est unique, et qu'elle se calcule par une somme finie de produits scalaires. C'est ce transfert d'un problème d'analyse vers une formule d'algèbre linéaire qui fait de la projection orthogonale un outil.

◆Théorème 3.11Théorème de la meilleure approximation et Distance

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$. Pour tout $x\in E$, la distance de $x$ à $F$ est atteinte en un unique point, qui est la projection orthogonale $p_F(x)$ :

$$d(x,F)=\underset{y\in F}{\inf }\Vert x-y\Vert =\Vert x-p_F(x)\Vert =\sqrt{\Vert x{\Vert }^2-\Vert p_F(x){\Vert }^2}.$$

Démonstration

Pour tout $y\in F$, on écrit $x-y=(x-p_F(x))+(p_F(x)-y)$.
Comme $p_F(x)-y\in F$ et $x-p_F(x)\in F^{\perp }$, ces deux vecteurs sont orthogonaux. Par le théorème de Pythagore :

$$\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x-p_F(x){\Vert }^2+\Vert p_F(x)-y{\Vert }^2\ge \Vert x-p_F(x){\Vert }^2.$$

L'égalité a lieu si et seulement si $\Vert p_F(x)-y{\Vert }^2=0⟺y=p_F(x)$.

Méthode : Calculer une distance à un sous-espace

Aucun problème de concours ne demande de minimiser directement $\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\Vert$ sur $F$ : la démarche est toujours la même.

• Identifier $\overrightarrow{x}$ et $F$, et vérifier que $F$ est de dimension finie. Une quantité de la forme ${\inf }_{a,b}{\int }_0^1(f(t)-a-bt{)}^2\mathrm{d}t$ est une distance au carré : ici $F={\mathbb{R}}_1[X]$ et le produit scalaire est ${\int }_0^{1}PQ$.
• Construire une base orthonormale de $F$ par Gram-Schmidt — c'est l'étape la plus longue, et la seule qui calcule.
• Projeter : $p_F(\overrightarrow{x})={\sum }_i⟨\overrightarrow{x},{\overrightarrow{e}}_i⟩{\overrightarrow{e}}_i$.
• Conclure par $d(\overrightarrow{x},F{)}^2=\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }^2-\Vert p_F(\overrightarrow{x}){\Vert }^2$, qui évite de soustraire les vecteurs et ne demande que des normes.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices