Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries
Cours · mathématiques (PSI), chapitre 4 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun
4.1 Introduction et vue d'ensemble
L'étude des endomorphismes opérant sur un espace euclidien fait interagir la géométrie métrique (distances, angles) et l'algèbre spectrale. Deux classes majeures structurent ce chapitre :
- Les endomorphismes autoadjoints (ou symétriques), régis par le magistral Théorème Spectral, qui garantit l'existence d'une base orthonormée de diagonalisation. Ils interviennent dans l'inertie des solides (ellipsoïde d'inertie), les contraintes mécaniques et l'optimisation quadratique.
- Les isométries vectorielles (automorphismes orthogonaux), formant le groupe orthogonal , qui conservent le produit scalaire et les distances. En dimensions 2 et 3, leur réduction géométrique fournit la classification rigoureuse des rotations et des réflexions.
Les deux familles d'endomorphismes que ce chapitre étudie ne sont pas juxtaposées par hasard : chacune se définit par une relation portant sur le produit scalaire, et ces deux relations s'écrivent d'une ligne :
La première donne le théorème spectral — une diagonalisation gratuite, en base orthonormale, sans qu'aucun polynôme caractéristique n'ait à être factorisé, alors qu'au chapitre 2 elle devait être méritée. La seconde donne la classification des rotations et des réflexions.
L'identité matricielle sert constamment dans ce cadre : c'est elle qui fonde la méthode des moindres carrés. Chercher minimisant revient, par le théorème de la meilleure approximation du chapitre précédent, à imposer , c'est-à-dire , soit l'équation normale . Le problème d'optimisation est devenu un système linéaire.
4.2 Endomorphismes Autoadjoints et Théorème Spectral
Voici le théorème le plus fort du programme d'algèbre linéaire. Il faut mesurer ce qu'il apporte en le comparant au chapitre de réduction : là, la diagonalisabilité se méritait — factoriser un polynôme caractéristique, puis vérifier pour chaque valeur propre que la dimension du sous-espace propre atteint sa multiplicité, avec un verdict qui pouvait être négatif. Ici, il n'y a rien à vérifier : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, et même en base orthonormale. La conclusion est acquise avant le moindre calcul, sur la seule lecture de .
4.2.1 Endomorphismes Symétriques et Matrices Symétriques Réelles
Un endomorphisme est dit autoadjoint (ou symétrique) si :
Une matrice est dite symétrique si . L'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre est noté .
L'hypothèse « base orthonormale » commande la traduction matricielle. Dans une base quelconque, un endomorphisme autoadjoint n'a pas une matrice symétrique : si désigne la matrice de Gram de la base, la condition s'écrit , et elle se réduit à précisément lorsque . Confondre « autoadjoint » et « de matrice symétrique » sans vérifier l'orthonormalité est l'erreur qui coûte le plus cher dans ce chapitre.
Soit un espace euclidien de dimension et un endomorphisme autoadjoint.
- Réalité du spectre : Toutes les valeurs propres de sont réelles : .
- Orthogonalité des sous-espaces propres : Si , alors .
- Diagonalisabilité orthonormale : est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.
- Formulation matricielle : Pour toute matrice symétrique réelle , il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale réelle telles que :