Espaces Vectoriels Normés et Topologie

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 5 · CPGE PSI (2e année)

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5.1 Introduction et vue d'ensemble

La topologie des espaces vectoriels normés (EVN) formalise rigoureusement les notions de proximité géométrique, de convergence de suites, de continuité des applications linéaires et non linéaires, ainsi que les propriétés qualitatives des ensembles (ouverts, fermés, compacts, connexes par arcs). En classe de PSI / PSI*, les théorèmes de compacité et d'équivalence des normes en dimension finie constituent les outils indispensables de l'analyse fonctionnelle et de l'optimisation.

5.2 Normes et Boules dans un Espace Vectoriel

Une norme sur un espace vectoriel, c'est le choix d'une façon de mesurer les longueurs — et plusieurs choix sont possibles sur le même espace. Les boules unités de $∥ \cdot ∥_{1}$ , $∥ \cdot ∥_{2}$ et $∥ \cdot ∥_{\infty}$ dans le plan sont respectivement un carré posé sur la pointe, un disque et un carré : trois formes, trois géométries.

Important

En dimension finie, ces choix sont sans conséquence pour tout ce qui relève de la topologie : toutes les normes y sont équivalentes, donc les suites convergentes, les ouverts, les compacts sont les mêmes. En dimension infinie, l'équivalence tombe, et c'est précisément pour cela que les espaces de fonctions demandent tant de soin : la convergence simple, la convergence uniforme et la convergence en moyenne quadratique y sont trois notions distinctes.

5.2.1 Définition et Normes Usuelles

Définition 5.1Norme et Espace Vectoriel Normé

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel ( $K = R$ ou $C$ ). Une application $N : E \to [0, + \infty [$ (notée généralement $∥ \cdot ∥$ ) est appelée une norme sur $E$ si :

Séparation : $\forall x \in E, ∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0_{E}$ .
Homogénéité absolue : $\forall λ \in K, \forall x \in E, ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥$ .
Inégalité triangulaire : $\forall x, y \in E, ∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ .

Le couple $(E, ∥ \cdot ∥)$ est appelé un espace vectoriel normé (EVN).

Important

C'est le premier axiome, dit de séparation, qui fait tout le travail : il interdit l'existence d'un vecteur non nul de longueur nulle. Une application vérifiant les deux autres sans lui s'appelle une semi-norme, et il en existe de très naturelles — sur $R [X]$ , l'application $P \mapsto ∣ P (0) ∣$ est homogène et sous-additive, mais s'annule sur $X$ , qui n'est pas le polynôme nul.

Les trois normes usuelles ne sont pas trois variantes de la même idée : elles mesurent des choses différentes. La norme $1$ additionne les écarts, la norme $2$ les compose comme Pythagore, la norme infinie ne retient que le pire. Un ingénieur qui borne une erreur globale prend la première, celui qui garantit une tolérance sur chaque coordonnée prend la dernière.

Proposition 5.2Normes usuelles sur

K^{n}

M_{n, p} (K)

Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}$ :

$∥ x ∥_{1} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣, ∥ x ∥_{2} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣^{2}, ∥ x ∥_{\infty} = 1 \leq i \leq n max ∣ x_{i} ∣.$

Elles vérifient les inégalités optimales :

$∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{2} \leq n ∥ x ∥_{\infty} .$

5.2.2 Boules Ouvertes, Boules Fermées et Sphères

Les inégalités entre ces trois normes sont optimales : chacune est une égalité pour un vecteur bien choisi. Le vecteur $(1, 0, \dots, 0)$ réalise l'égalité d'un côté, et $(1, 1, \dots, 1)$ de l'autre, avec $∥ x ∥_{1} = n$ , $∥ x ∥_{2} = n$ et $∥ x ∥_{\infty} = 1$ . C'est en exhibant ces deux vecteurs qu'on prouve qu'aucune constante plus petite ne convient — et l'on remarquera que les facteurs dépendent de $n$ , ce qui interdira le passage à la dimension infinie.

Définition 5.3Boules et Sphères

Soit $(E, ∥ \cdot ∥)$ un EVN, $a \in E$ et $r > 0$ .

Boule ouverte : $B (a, r) = {x \in E ∣ ∥ x - a ∥ < r}$ .
Boule fermée : $B_{f} (a, r) = {x \in E ∣ ∥ x - a ∥ \leq r}$ .
Sphère : $S (a, r) = {x \in E ∣ ∥ x - a ∥ = r}$ .

Toutes les boules ouvertes et fermées sont des ensembles convexes.

5.3 Vocabulaire Topologique et Caractérisation Séquentielle

Le vocabulaire qui suit est celui des énoncés ; ce n'est pas celui des démonstrations. En pratique, on ne revient presque jamais à la définition d'un ouvert : on reconnaît la partie étudiée comme l'image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue, ou bien on passe par les suites.

5.3.1 Ouverts, Fermés et Voisinages

Définition 5.4Ouvert, Fermé, Voisinage

Soit $(E, ∥ \cdot ∥)$ un EVN et $U, F \subset E$ .

$U$ est un ouvert de $E$ si pour tout $x \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $B (x, r) \subset U$ .
$F$ est un fermé de $E$ si son complémentaire $E ∖ F$ est un ouvert de $E$ .
$V$ est un voisinage de $x \in E$ s'il contient une boule ouverte centrée en $x$ .

5.3.2 Adhérence, Intérieur, Frontière et Densité

Important

Deux avertissements sur ces mots, qui trompent parce qu'ils sont empruntés au langage courant. D'abord, « ouvert » et « fermé » ne sont pas contraires : une partie peut n'être ni l'un ni l'autre, comme $[0, 1 [$ dans $R$ , et peut être les deux à la fois, comme $\emptyset$ et $E$ . Ensuite, ces qualificatifs sont relatifs à l'espace ambiant : $[0, 1]$ est fermé dans $R$ , et il est à la fois ouvert et fermé dans lui-même.

Définition 5.5Adhérence et Intérieur

Pour toute partie $A \subset E$ :

L'intérieur $A ˚$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$ : $A ˚ = {x \in A ∣ \exists r > 0, B (x, r) \subset A}$ .
L'adhérence $A ˉ$ est le plus petit fermé contenant $A$ : $A ˉ = {x \in E ∣ \forall r > 0, B (x, r) \cap A \neq = \emptyset}$ .
La frontière de $A$ est $\partial A = A ˉ ∖ A ˚$ .
$A$ est dite dense dans $E$ si $A ˉ = E$ .

◆Théorème 5.6Caractérisation séquentielle de l'adhérence et des fermés

Soit $A \subset E$ et $x \in E$ .

$x \in A ˉ ⟺$ il existe une suite $(u_{n})_{n \in N}$ d'éléments de $A$ telle que $lim_{n \to + \infty} u_{n} = x$ .
$A$ est fermé si et seulement si toute suite convergente d'éléments de $A$ a sa limite dans $A$ :

$\forall (u_{n}) \in A^{N}, (u_{n} \to ℓ ⟹ ℓ \in A) .$

Figure : Intérieur et frontière, lus sur une partie

A

. Autour de

x

, une boule entière

tient dans $A$ : $x$ est intérieur. Autour de $y$ , toute boule rencontre à la fois $A$ et son complémentaire : $y$ est un point frontière. L'adhérence $A ˉ$ est la réunion de $A$ et de sa frontière.</div>

Méthode : Montrer qu'une partie est ouverte ou fermée

Deux routes, dans l'ordre où il faut les essayer.

Image réciproque par une application continue. C'est la plus rapide et elle suffit presque toujours : $G L_{n} (R) = det^{- 1} (R^{*})$ est ouvert car $det$ est continue et $R^{*}$ est ouvert ; $O_{n} (R)$ est fermé comme image réciproque du fermé ${I_{n}}$ par l'application continue $M \mapsto^{t} M M$ ; $S_{n} (R)$ est fermé comme noyau d'une application linéaire, donc continue.
Caractérisation séquentielle, pour les fermés : prendre une suite de la partie qui converge et montrer que la limite y reste. C'est la route à prendre quand la partie est définie par une égalité qu'on peut passer à la limite.

◆Théorème 5.7Exemples classiques de densité

Le corps des rationnels $Q$ est dense dans $R$ .
L'ensemble des polynômes $R [X]$ est dense dans $(C^{0} ([a, b], R), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ (Théorème d'approximation de Weierstrass).
Le groupe linéaire $GL_{n} (C)$ est dense dans $M_{n} (C)$ .
L'ensemble des matrices diagonalisables de $M_{n} (C)$ est dense dans $M_{n} (C)$ .

La densité est la notion la plus utile de la section, parce qu'elle est le fondement de toute approximation — dire que les polynômes sont denses dans $(C^{0} ([a, b], R), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ signifie exactement que toute fonction continue est limite uniforme de polynômes — mais aussi une technique de démonstration : une identité entre applications continues vraie sur une partie dense est vraie partout.

C'est précisément l'usage des deux derniers exemples. Pour établir une identité matricielle, on la démontre d'abord sur les matrices inversibles, ou sur les matrices diagonalisables, où le calcul est facile ; la densité et la continuité l'étendent ensuite à $M_{n} (C)$ tout entier. C'est ainsi qu'on prouve sans effort des égalités comme $χ_{A B} = χ_{B A}$ .

5.4 Équivalence des Normes et Compacité en Dimension Finie

Deux normes équivalentes définissent, littéralement, la même topologie : mêmes suites convergentes, mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes compacts, mêmes fonctions continues. Le théorème de cette section affirme qu'en dimension finie ce cas est le seul possible — ce qui a une conséquence pratique immédiate : dans une démonstration, on a le droit de choisir la norme la plus commode, et c'est presque toujours $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , celle qui ramène tout à des coordonnées.

Figure : Les trois boules unités de

R^{2}

: le losange de

∥ \cdot ∥_{1}

, le disque de

$∥ \cdot ∥_{2}$ , le carré de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Elles sont emboîtées et se touchent sur les axes ; l'écart est maximal sur les diagonales. C'est cet emboîtement, à un facteur borné près, que l'équivalence des normes généralise.</div>

5.4.1 Équivalence des Normes

Définition 5.8Normes équivalentes

Deux normes $N_{1}$ et $N_{2}$ sur $E$ sont dites équivalentes s'il existe des constantes $α, β > 0$ telles que :

$\forall x \in E, α N_{1} (x) \leq N_{2} (x) \leq β N_{1} (x) .$

Deux normes équivalentes définissent les mêmes ouverts, les mêmes fermés, les mêmes suites convergentes et les mêmes fonctions continues.

◆Théorème 5.9Théorème Fondamental d'Équivalence des Normes

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie. Toutes les normes sur $E$ sont équivalentes.

Démonstration (Esquisse de démonstration)

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . On compare toute norme $N$ à la norme $∥ x ∥_{\infty} = max ∣ x_{i} ∣$ .

Par l'inégalité triangulaire : $N (x) \leq \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} ∣ N (e_{i}) \leq (\sum N (e_{i})) ∥ x ∥_{\infty} = β ∥ x ∥_{\infty}$ . L'application $N : (E, ∥ \cdot ∥_{\infty}) \to R$ est donc lipschitzienne, donc continue.
La sphère unité $S_{\infty} (0, 1) = {x \in E ∣ ∥ x ∥_{\infty} = 1}$ est fermée et bornée pour $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , donc compacte.
Par le théorème des bornes atteintes, la fonction continue $N$ atteint son minimum sur cette sphère compacte en un point $x_{0}$ : $α = min_{S_{\infty}} N = N (x_{0})$ . Comme $∥ x_{0} ∥_{\infty} = 1$ , $x_{0} \neq = 0$ , donc par séparation de la norme $α > 0$ .
Pour tout $x \neq = 0$ , $\frac{x}{∥ x ∥ _{\infty}} \in S_{\infty} ⟹ N (\frac{x}{∥ x ∥ _{\infty}}) \geq α ⟹ N (x) \geq α ∥ x ∥_{\infty}$ . D'où $α ∥ x ∥_{\infty} \leq N (x) \leq β ∥ x ∥_{\infty}$ .

5.4.2 Compacité et Théorème de Bolzano-Weierstrass

Important

L'hypothèse de dimension finie est indispensable, et le contre-exemple tient en une ligne. Sur $C ([0, 1], R)$ , prenons $f_{n} (x) = x^{n}$ . Alors

$∥ f_{n} ∥_{\infty} = 1 pour tout n, tandis que ∥ f_{n} ∥_{1} = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} n \to + \infty 0.$

Aucune constante $α > 0$ ne peut donc vérifier $α ∥ f ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{1}$ pour toute $f$ : les deux normes ne sont pas équivalentes. La même suite resservira deux fois plus bas.

La structure de la démonstration mérite d'être retenue, car elle réapparaît partout : on ne compare pas deux normes quelconques entre elles, on les compare toutes deux à une même troisième, $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , ce qui divise le travail par deux.

Définition 5.10Ensemble compact

Une partie $K$ d'un EVN $E$ est dite compacte si de toute suite $(u_{n})_{n \in N}$ d'éléments de $K$ , on peut extraire une sous-suite $(u_{φ (n)})_{n \in N}$ qui converge vers un élément de $K$ (propriété de Bolzano-Weierstrass).

◆Théorème 5.11Caractérisation des Compacts en Dimension Finie

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et $K \subset E$ .

$K est compact ⟺ K est ferm e ˊ et born e ˊ .$

La compacité est la propriété qui fabrique de l'existence. Une suite d'un compact ne peut pas s'échapper : elle possède toujours une valeur d'adhérence dans le compact. C'est ce qui permet de remplacer une borne inférieure, objet dont on ne sait rien, par un minimum, c'est-à-dire une valeur prise en un point — et la distinction n'est pas verbale, puisque sur $R^{+*}$ la fonction $x \mapsto x$ a une borne inférieure et pas de minimum.

Important

La caractérisation « fermé et borné » est fausse en dimension infinie, et le contre-exemple est encore $f_{n} (x) = x^{n}$ dans $(C ([0, 1], R), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ : toutes ces fonctions sont dans la boule unité fermée, qui est fermée et bornée, mais aucune sous-suite ne converge uniformément — la limite simple, nulle sur $[0, 1 [$ et égale à $1$ en $1$ , n'est pas continue. La boule unité fermée d'un espace de dimension infinie n'est jamais compacte, et c'est la raison profonde pour laquelle les théorèmes d'existence y sont difficiles.

5.5 Continuité des Applications et Applications Linéaires

La caractérisation séquentielle de la continuité est l'outil de démonstration du chapitre : pour montrer qu'une application est continue, on prend une suite qui converge et l'on montre que les images convergent ; pour montrer qu'elle ne l'est pas, il suffit d'une suite qui trahit. C'est aussi ce qui permet de transporter les théorèmes d'un espace à l'autre sans jamais manipuler d'epsilon.

5.5.1 Continuité Globale et Image de Compacts

◆Théorème 5.12Continuité et Topologie

Soient $E, F$ deux EVN et $f : E \to F$ .

$f$ est continue sur $E$ si et seulement si pour tout ouvert $V$ de $F$ , $f^{- 1} (V)$ est un ouvert de $E$ (ou pour tout fermé $U$ de $F$ , $f^{- 1} (U)$ est un fermé de $E$ ).
Théorème de Weierstrass : L'image d'un compact par une fonction continue est compacte. En particulier, toute fonction continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
Théorème des Valeurs Intermédiaires : L'image d'un ensemble connexe par arcs par une fonction continue est connexe par arcs.

5.5.2 Continuité des Applications Linéaires

◆Théorème 5.13Continuité des applications linéaires

Soient $E$ et $F$ deux EVN et $u \in L (E, F)$ .

En dimension finie ( $dim E < + \infty$ ), toute application linéaire $u$ est automatiquement continue.
En dimension quelconque, $u$ est continue si et seulement si elle est bornée sur la sphère unité :

$\exists M \geq 0, \forall x \in E, ∥ u (x) ∥_{F} \leq M ∥ x ∥_{E} .$

Important

Le théorème précédent affirme qu'en dimension finie, toute application linéaire est automatiquement continue : il n'y a jamais à le vérifier. Là encore, la propriété est propre à la dimension finie. Sur $R [X]$ muni de $∥ P ∥_{\infty} = sup_{[0, 1]} ∣ P ∣$ , la dérivation $P \mapsto P^{'}$ est linéaire et discontinue : avec $f_{n} (x) = x^{n}$ , on a $∥ f_{n} ∥_{\infty} = 1$ tandis que $∥ f_{n}^{'} ∥_{\infty} = n$ , donc aucun majorant $∥ u (P) ∥ \leq C ∥ P ∥$ n'existe.

En dimension quelconque, continuité et caractère borné coïncident : une application linéaire est continue si et seulement s'il existe $C$ telle que $∥ u (x) ∥ \leq C ∥ x ∥$ pour tout $x$ . C'est cette inégalité, et elle seule, qui est au programme : la plus petite de ces constantes porte un nom, la norme subordonnée, mais le programme de PSI l'écarte explicitement.

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