Espaces Vectoriels Normés et Topologie

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 5 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un ensemble ouvert : autour de chacun de ses points tient une petite boule entièrement contenue dans l'ensemble.

5.1 Introduction et vue d'ensemble

La topologie des espaces vectoriels normés (EVN) formalise rigoureusement les notions de proximité géométrique, de convergence de suites, de continuité des applications linéaires et non linéaires, ainsi que les propriétés qualitatives des ensembles (ouverts, fermés, compacts, connexes par arcs). En classe de PSI / PSI*, les théorèmes de compacité et d'équivalence des normes en dimension finie constituent les outils indispensables de l'analyse fonctionnelle et de l'optimisation.

5.2 Normes et Boules dans un Espace Vectoriel

Une norme sur un espace vectoriel, c'est le choix d'une façon de mesurer les longueurs — et plusieurs choix sont possibles sur le même espace. Les boules unités de $∥ \cdot ∥_{1}$ , $∥ \cdot ∥_{2}$ et $∥ \cdot ∥_{\infty}$ dans le plan sont respectivement un carré posé sur la pointe, un disque et un carré : trois formes, trois géométries.

Important

En dimension finie, ces choix sont sans conséquence pour tout ce qui relève de la topologie : toutes les normes y sont équivalentes, donc les suites convergentes, les ouverts, les compacts sont les mêmes. En dimension infinie, l'équivalence tombe, et c'est précisément pour cela que les espaces de fonctions demandent tant de soin : la convergence simple, la convergence uniforme et la convergence en moyenne quadratique y sont trois notions distinctes.

5.2.1 Définition et Normes Usuelles

Définition 5.1Norme et Espace Vectoriel Normé

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel ( $K = R$ ou $C$ ). Une application $N : E \to [0, + \infty [$ (notée généralement $∥ \cdot ∥$ ) est appelée une norme sur $E$ si :

Séparation : $\forall x \in E, ∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0_{E}$ .
Homogénéité absolue : $\forall λ \in K, \forall x \in E, ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥$ .
Inégalité triangulaire : $\forall x, y \in E, ∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ .

Le couple $(E, ∥ \cdot ∥)$ est appelé un espace vectoriel normé (EVN).

Important

C'est le premier axiome, dit de séparation, qui fait tout le travail : il interdit l'existence d'un vecteur non nul de longueur nulle. Une application vérifiant les deux autres sans lui s'appelle une semi-norme, et il en existe de très naturelles — sur $R [X]$ , l'application $P \mapsto ∣ P (0) ∣$ est homogène et sous-additive, mais s'annule sur $X$ , qui n'est pas le polynôme nul.

Les trois normes usuelles ne sont pas trois variantes de la même idée : elles mesurent des choses différentes. La norme $1$ additionne les écarts, la norme $2$ les compose comme Pythagore, la norme infinie ne retient que le pire. Un ingénieur qui borne une erreur globale prend la première, celui qui garantit une tolérance sur chaque coordonnée prend la dernière.

Proposition 5.2Normes usuelles sur

K^{n}

M_{n, p} (K)

Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}$ :

$∥ x ∥_{1} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣, ∥ x ∥_{2} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣^{2}, ∥ x ∥_{\infty} = 1 \leq i \leq n max ∣ x_{i} ∣.$

Elles vérifient les inégalités optimales :

$∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{2} \leq n ∥ x ∥_{\infty} .$

5.2.2 Boules Ouvertes, Boules Fermées et Sphères

Les inégalités entre ces trois normes sont optimales : chacune est une égalité pour un vecteur bien choisi. Le vecteur $(1, 0, \dots, 0)$ réalise l'égalité d'un côté, et $(1, 1, \dots, 1)$ de l'autre, avec $∥ x ∥_{1} = n$ , $∥ x ∥_{2} = n$ et $∥ x ∥_{\infty} = 1$ . C'est en exhibant ces deux vecteurs qu'on prouve qu'aucune constante plus petite ne convient — et l'on remarquera que les facteurs dépendent de $n$ , ce qui interdira le passage à la dimension infinie.

Définition 5.3Boules et Sphères

Soit $(E, ∥ \cdot ∥)$ un EVN, $a \in E$ et $r > 0$ .

Boule ouverte : $B (a, r) = {x \in E ∣ ∥ x - a ∥ < r}$ .
Boule fermée : $B_{f} (a, r) = {x \in E ∣ ∥ x - a ∥ \leq r}$ .
Sphère : $S (a, r) = {x \in E ∣ ∥ x - a ∥ = r}$ .

Toutes les boules ouvertes et fermées sont des ensembles convexes.

5.3 Vocabulaire Topologique et Caractérisation Séquentielle

Le vocabulaire qui suit est celui des énoncés ; ce n'est pas celui des démonstrations. En pratique, on ne revient presque jamais à la définition d'un ouvert : on reconnaît la partie étudiée comme l'image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue, ou bien on passe par les suites.

5.3.1 Ouverts, Fermés et Voisinages

Définition 5.4Ouvert, Fermé, Voisinage

Soit $(E, ∥ \cdot ∥)$ un EVN et $U, F \subset E$ .

$U$ est un ouvert de $E$ si pour tout $x \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $B (x, r) \subset U$ .
$F$ est un fermé de $E$ si son complémentaire $E ∖ F$ est un ouvert de $E$ .
$V$ est un voisinage de $x \in E$ s'il contient une boule ouverte centrée en $x$ .

Exercices du chapitre

Norme ou pas ? corrigé
Les trois normes corrigé
Normes non équivalentes corrigé
Densité et unicité corrigé
La plus petite constante de continuité corrigé
La dimension infinie en défaut corrigé

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