Séries Numériques

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 6 · CPGE PSI (2e année)

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6.1 Introduction et vue d'ensemble

L'étude des séries numériques constitue le premier pas de l'analyse asymptotique moderne et de la sommation infinie. Ce chapitre développe les critères de convergence pour les séries à termes positifs (Riemann, Bertrand, d'Alembert, comparaison série-intégrale), les séries à termes quelconques réels ou complexes (convergence absolue, Théorème Spécial des Séries Alternées) ainsi que le produit de Cauchy.

6.2 Séries à Termes Positifs

La positivité change tout, et il faut voir pourquoi. Si $u_{n} \geq 0$ , la suite des sommes partielles est croissante : elle ne peut donc que converger ou tendre vers $+ \infty$ , et le troisième comportement possible d'une suite quelconque — osciller sans limite — est exclu. Une série positive converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées, condition qu'on sait vérifier par comparaison.

C'est la raison pour laquelle tous les critères de cette section supposent la positivité, et c'est aussi la raison pour laquelle on les applique systématiquement à $\sum ∣ u_{n} ∣$ lorsque la série n'est pas de signe constant.

6.2.1 Critère de Majoration et Règles de Comparaison

Définition 6.1Série numérique et Reste

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ). On appelle série numérique associée la suite de ses sommes partielles :

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} .$

La série est dite convergente si la suite $(S_{n})$ admet une limite finie $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} \in K$ . Dans ce cas, le reste d'ordre $n$ est $R_{n} = S - S_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k} n \to + \infty 0$ .

◆Théorème 6.2Théorème fondamental pour les séries à termes positifs

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite de réels positifs ( $u_{n} \geq 0$ ). La suite des sommes partielles $(S_{n})$ est croissante. Par conséquent :

$\sum u_{n} converge ⟺ (S_{n}) est major e ˊ e .$

◆Théorème 6.3Règles de comparaison asymptotique

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes strictement positifs à partir d'un certain rang.

Inégalité : Si $u_{n} \leq v_{n}$ , alors $\sum v_{n} CV ⟹ \sum u_{n} CV$ , et $\sum u_{n} DV ⟹ \sum v_{n} DV$ .
Équivalence : Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature. De plus :

$\sum u_{n} converge ⟹ R_{n} (u) \sim R_{n} (v), et \sum u_{n} diverge ⟹ S_{n} (u) \sim S_{n} (v) .$

Négligeabilité : Si $u_{n} = o (v_{n})$ , alors $\sum v_{n} CV ⟹ \sum u_{n} CV$ , et $\sum u_{n} DV ⟹ \sum v_{n} DV$ .

6.2.2 Séries de Référence

Important

Ces règles réclament la positivité, et c'est sur le critère d'équivalence que l'oubli est le plus coûteux. Posons

$u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} et v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n} .$

Alors $v_{n} / u_{n} = 1 + (- 1)^{n} / n \to 1$ , donc $u_{n} \sim v_{n}$ . Pourtant $\sum u_{n}$ converge par le théorème spécial des séries alternées, tandis que $\sum v_{n} = \sum u_{n} + \sum 1/ n$ diverge. Deux séries équivalentes de signe non constant peuvent être de natures différentes.

◆Théorème 6.4Séries de Riemann et Règle de Riemann

La série de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

Si $lim_{n \to + \infty} n^{α} u_{n} = 0$ pour un $α > 1$ , alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $lim_{n \to + \infty} n u_{n} = + \infty$ (ou $ℓ > 0$ ), alors $\sum u_{n}$ diverge.

Les séries de Riemann sont l'étalon du chapitre : la quasi-totalité des exercices consiste à comparer la série étudiée à l'une d'elles, en cherchant un équivalent du terme général de la forme $C / n^{α}$ . Retenir la frontière : $α = 1$ diverge, $α = 2$ converge, et $α = 1$ est le cas de la série harmonique, à la limite exacte entre les deux régimes.

6.2.3 Comparaison Série-Intégrale

L'introduction annonçait ce critère parmi les outils du chapitre, et l'exercice final en dépend : il est le seul à donner, en plus de la nature de la série, un encadrement du reste ou un équivalent des sommes partielles. Son principe tient dans un dessin : pour une fonction décroissante, l'aire d'un rectangle de largeur $1$ est encadrée par les aires sous la courbe à gauche et à droite.

◆Théorème 6.5Comparaison série-intégrale

Soit $f : [n_{0}, + \infty [\to R^{+}$ continue par morceaux, positive et décroissante. Alors la série $\sum f (n)$ et l'intégrale $\int_{n_{0}}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature, et :

en cas de convergence, le reste est encadré par

$\int_{n + 1}^{+ \infty} f (t) d t \leq R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} f (t) d t;$

en cas de divergence, les sommes partielles vérifient $k = n_{0} \sum n f (k) \sim \int_{n_{0}}^{n} f (t) d t$ .

C'est ce théorème, appliqué à $f (t) = 1/ t$ , qui donne $H_{n} \sim ln n$ et ouvre la voie à la constante d'Euler. Il redémontre aussi la règle de Riemann, en comparant $\sum 1/ n^{α}$ à $\int d t / t^{α}$ : la série et l'intégrale changent de nature au même endroit.

L'introduction cite également les séries dites de Bertrand, $\sum 1/ (n^{α} (ln n)^{β})$ , qui dépassent le programme de PSI. Elles se traitent par comparaison aux précédentes : convergence si $α > 1$ , divergence si $α < 1$ , et pour $α = 1$ la convergence équivaut à $β > 1$ . Un énoncé qui en a besoin en fait toujours démontrer le cas utile.

Figure : Comparaison série-intégrale pour

f

positive décroissante. Chaque rectangle de

base $[k, k + 1]$ a pour hauteur $f (k + 1)$ , donc son aire vaut $f (k + 1)$ et reste inférieure à l'aire sous la courbe sur le même intervalle. En sommant pour $k \geq n$ , on obtient la majoration $R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} f$ ; en décalant d'un cran, la minoration.</div>

◆Théorème 6.6Règle de d'Alembert

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs telle que $lim_{n \to + \infty} \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ℓ$ .

Si $ℓ < 1$ , alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $ℓ > 1$ , alors $u_{n} \neq \to 0$ et $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.
Si $ℓ = 1$ , on ne peut pas conclure (cas douteux).

La règle de d'Alembert a un domaine d'emploi étroit qu'il faut connaître, sous peine de la tenter à chaque fois sans succès. Elle est faite pour les termes multiplicatifs — factorielles, puissances $n$ -ièmes, coefficients binomiaux — parce que le quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ s'y simplifie. Elle est en revanche inutilisable sur les termes rationnels : pour $u_{n} = 1/ n^{α}$ , le quotient vaut $(\frac{n}{n + 1})^{α} \to 1$ quel que soit $α$ , et l'on retombe toujours dans le cas douteux — précisément celui où la nature dépend de $α$ .

Méthode : Déterminer la nature d'une série

L'ordre des questions compte autant que les critères.

$u_{n}$ tend-il vers $0$ ? Sinon, divergence grossière, c'est fini.
Quel est le signe ? S'il est constant à partir d'un certain rang, on dispose de tout l'arsenal des séries positives. Sinon, on essaie d'abord la convergence absolue, en étudiant $\sum ∣ u_{n} ∣$ , qui est positive.
Chercher un équivalent simple de la forme $C / n^{α}$ ou $C q^{n}$ : c'est la voie qui aboutit dans la grande majorité des cas.
Factorielles ou puissances : règle de d'Alembert.
Terme de la forme $f (n)$ avec $f$ décroissante : comparaison série-intégrale, qui donne en prime un encadrement du reste.
Si $\sum ∣ u_{n} ∣$ diverge et que la série est alternée : théorème spécial des séries alternées, seul recours restant.

6.3 Séries à Termes Quelconques et Séries Alternées

La convergence absolue est ce qui permet de traiter une série comme une somme finie. C'est le seul cadre dans lequel on a le droit de réordonner les termes, de les regrouper par paquets ou de multiplier deux séries — trois opérations interdites sans hypothèse. Une série convergente qui n'est pas absolument convergente est dite semi-convergente, et le mot signale un objet fragile.

6.3.1 Convergence Absolue

Définition 6.7Convergence absolue

Une série $\sum u_{n}$ à valeurs réelles ou complexes est dite absolument convergente si la série des modules $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

◆Théorème 6.8L'absolue convergence entraîne la convergence

Toute série absolument convergente est convergente, et :

$n = 0 \sum + \infty u_{n} \leq n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣.$

Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

6.3.2 Le Théorème Spécial des Séries Alternées (TSSA)

La réciproque est fausse, et son échec est spectaculaire. La série harmonique alternée $\sum (- 1)^{n + 1} / n$ converge vers $ln 2$ sans converger absolument, et le théorème de réarrangement de Riemann affirme qu'en changeant seulement l'ordre de ses termes, on peut la faire converger vers n'importe quel réel fixé d'avance, ou diverger. Aucune somme finie ne se comporte ainsi : c'est la mesure de ce qu'apporte le mot « absolument ».

Définition 6.9Série alternée

Une série réelle $\sum u_{n}$ est dite alternée si $u_{n} = (- 1)^{n} a_{n}$ (ou $(- 1)^{n + 1} a_{n}$ ) avec $a_{n} \geq 0$ pour tout $n$ .

◆Théorème 6.10Théorème Spécial des Séries Alternées

Soit $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ une série alternée telle que :

La suite $(a_{n})_{n \in N}$ est décroissante à partir d'un certain rang.
$lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ .

Alors :

La série $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ converge.
Les suites $(S_{2 n})$ et $(S_{2 n + 1})$ sont adjacentes, encadrant la somme $S$ .
Le reste $R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} (- 1)^{k} a_{k}$ a le signe de son premier terme $(- 1)^{n + 1}$ et est majoré en valeur absolue par :

$∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1} .$

Figure : Série harmonique alternée

\sum (- 1)^{n} / (n + 1)

. Les sommes partielles encadrent la

somme en oscillant : $S_{1} \leq S_{3} \leq S_{5} \leq S \leq S_{4} \leq S_{2} \leq S_{0}$ . La bande grisée est l'intervalle $[S_{5}, S_{4}]$ , dont la hauteur vaut exactement $a_{5} = 1/6$ ; comme $S$ s'y trouve, l'écart $∣ R_{4} ∣ = ∣ S - S_{4} ∣$ est nécessairement plus petit que $a_{5}$ . C'est la majoration du reste, lue sur le dessin.</div>

Le troisième point du théorème est celui qui fait sa valeur pratique : il fournit une majoration explicite de l'erreur, ce qu'aucun autre critère élémentaire du chapitre ne donne. Pour approcher $ln 2$ à $1 0^{- 3}$ près par la série harmonique alternée, il suffit de résoudre $1/ (n + 1) \leq 1 0^{- 3}$ : c'est le seul calcul à faire.

Important

Les trois hypothèses sont indispensables, et c'est la décroissance qu'on oublie — le fait que $a_{n}$ tende vers $0$ ne suffit pas. Prenons $a_{n} = 1/ n$ si $n$ est pair et $a_{n} = 1/ n^{2}$ si $n$ est impair. La suite est positive et tend vers $0$ , mais elle n'est pas décroissante, et la série $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ se scinde en $\sum_{n pair} 1/ n$ , qui diverge, et $- \sum_{n impair} 1/ n^{2}$ , qui converge : la somme partielle tend vers $+ \infty$ . Avant d'invoquer le théorème, il faut donc prouver la décroissance, au besoin en étudiant une fonction.

6.4 Produit de Cauchy de Deux Séries

Le produit de deux séries pose une difficulté que la somme n'a pas : le produit des sommes fait apparaître tous les couples $(p, q)$ , et il faut décider dans quel ordre les sommer. Le produit de Cauchy fait un choix — regrouper par $p + q = n$ constant — et la question devient : ce choix change-t-il le résultat ?

Important

La convergence des deux séries ne suffit pas. Le contre-exemple classique est $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}$ multipliée par elle-même : les deux séries convergent, leur produit de Cauchy diverge. C'est l'absolue convergence de l'une au moins qui sauve le théorème — et l'absolue convergence des deux qui garantit celle du produit.

Cette exigence n'est pas une précaution d'école : elle dit que le produit de Cauchy manipule un réarrangement d'une somme double, et qu'un réarrangement n'est licite que pour une famille sommable. C'est le même théorème que celui des séries doubles, vu sous un autre angle.

Définition 6.11Produit de Cauchy

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries numériques. Le produit de Cauchy de ces deux séries est la série $\sum w_{n}$ dont le terme général est :

$w_{n} = k = 0 \sum n u_{k} v_{n - k} .$

◆Théorème 6.12Théorème de Mertens sur le Produit de Cauchy

Si les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy $\sum w_{n}$ est absolument convergent, et :

$n = 0 \sum + \infty w_{n} = (n = 0 \sum + \infty u_{n}) (n = 0 \sum + \infty v_{n}) .$

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