Séries Numériques

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 6 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

6.1 Introduction et vue d'ensemble

L'étude des séries numériques constitue le premier pas de l'analyse asymptotique moderne et de la sommation infinie. Ce chapitre développe les critères de convergence pour les séries à termes positifs (Riemann, Bertrand, d'Alembert, comparaison série-intégrale), les séries à termes quelconques réels ou complexes (convergence absolue, Théorème Spécial des Séries Alternées) ainsi que le produit de Cauchy.

6.2 Séries à Termes Positifs

La positivité change tout, et il faut voir pourquoi. Si $u_{n} \geq 0$ , la suite des sommes partielles est croissante : elle ne peut donc que converger ou tendre vers $+ \infty$ , et le troisième comportement possible d'une suite quelconque — osciller sans limite — est exclu. Une série positive converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées, condition qu'on sait vérifier par comparaison.

C'est la raison pour laquelle tous les critères de cette section supposent la positivité, et c'est aussi la raison pour laquelle on les applique systématiquement à $\sum ∣ u_{n} ∣$ lorsque la série n'est pas de signe constant.

6.2.1 Critère de Majoration et Règles de Comparaison

Définition 6.1Série numérique et Reste

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ). On appelle série numérique associée la suite de ses sommes partielles :

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} .$

La série est dite convergente si la suite $(S_{n})$ admet une limite finie $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} \in K$ . Dans ce cas, le reste d'ordre $n$ est $R_{n} = S - S_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k} n \to + \infty 0$ .

◆Théorème 6.2Théorème fondamental pour les séries à termes positifs

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite de réels positifs ( $u_{n} \geq 0$ ). La suite des sommes partielles $(S_{n})$ est croissante. Par conséquent :

$\sum u_{n} converge ⟺ (S_{n}) est major e ˊ e .$

◆Théorème 6.3Règles de comparaison asymptotique

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes strictement positifs à partir d'un certain rang.

Inégalité : Si $u_{n} \leq v_{n}$ , alors $\sum v_{n} CV ⟹ \sum u_{n} CV$ , et $\sum u_{n} DV ⟹ \sum v_{n} DV$ .
Équivalence : Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature. De plus :

$\sum u_{n} converge ⟹ R_{n} (u) \sim R_{n} (v), et \sum u_{n} diverge ⟹ S_{n} (u) \sim S_{n} (v) .$

Négligeabilité : Si $u_{n} = o (v_{n})$ , alors $\sum v_{n} CV ⟹ \sum u_{n} CV$ , et $\sum u_{n} DV ⟹ \sum v_{n} DV$ .

6.2.2 Séries de Référence

Important

Ces règles réclament la positivité, et c'est sur le critère d'équivalence que l'oubli est le plus coûteux. Posons

$u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} et v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n} .$

Alors $v_{n} / u_{n} = 1 + (- 1)^{n} / n \to 1$ , donc $u_{n} \sim v_{n}$ . Pourtant $\sum u_{n}$ converge par le théorème spécial des séries alternées, tandis que $\sum v_{n} = \sum u_{n} + \sum 1/ n$ diverge. Deux séries équivalentes de signe non constant peuvent être de natures différentes.

◆Théorème 6.4Séries de Riemann et Règle de Riemann

La série de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

Si $lim_{n \to + \infty} n^{α} u_{n} = 0$ pour un $α > 1$ , alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $lim_{n \to + \infty} n u_{n} = + \infty$ (ou $ℓ > 0$ ), alors $\sum u_{n}$ diverge.

Exercices du chapitre

La règle de d'Alembert en action corrigé
Une série de matrices corrigé
Estimer un reste corrigé
Sommes partielles d'une série divergente corrigé
Équivalent de reste par sommation corrigé
Cesàro et ses retombées corrigé

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