Suites et Séries de Fonctions

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 7 · CPGE PSI (2e année)

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7.1 Introduction et vue d'ensemble

Pour une suite de nombres, il n'y a qu'une façon de converger. Pour une suite de fonctions, il y en a plusieurs, et c'est tout l'objet du chapitre. La convergence simple ne regarde qu'un point à la fois ; la convergence uniforme exige que la vitesse soit la même partout ; la convergence normale majore terme à terme et implique les deux autres.

Cette hiérarchie n'est pas une subtilité de vocabulaire : elle décide de ce qu'on a le droit d'échanger. La limite d'une suite de fonctions continues n'est continue que si la convergence est uniforme — la suite $x^{n}$ sur $[0, 1]$ , continue à chaque rang et de limite discontinue, le montre en une ligne. Il en va de même pour l'interversion avec l'intégrale ou la dérivée, et chaque théorème du chapitre précise laquelle des trois convergences il réclame, et sur quel ensemble.

Le passage de l'analyse ponctuelle à l'analyse fonctionnelle nécessite de contrôler la vitesse de convergence globale d'une suite ou série de fonctions sur un intervalle $I$ . La notion de convergence simple étant insuffisante pour préserver la continuité ou autoriser l'interversion des limites, de l'intégration et de la dérivation, la théorie introduit les modes fondamentaux de convergence uniforme et de convergence normale.

7.2 Modes de Convergence

7.2.1 Convergence Simple, Uniforme et Normale

Les trois modes ne mesurent pas la même chose, et c'est ce qu'il faut retenir avant les formules. La convergence simple interroge chaque point séparément, sans se soucier de savoir si le rang à partir duquel l'écart devient petit dépend du point. La convergence uniforme exige au contraire un rang qui convienne partout à la fois : c'est le « tube » de la figure ci-dessous, dans lequel toutes les $f_{n}$ finissent par tenir. La convergence normale, enfin, ne concerne que les séries et ramène tout à une série numérique — ce qui en fait, en pratique, la seule qu'on vérifie directement.

Figure : Le tube de la convergence uniforme. À partir d'un certain rang, toutes

les fonctions $f_{n}$ tiennent dans la bande $[f - ε, f + ε]$ , et ce rang ne dépend pas du point considéré : c'est exactement ce que la convergence simple n'exige pas. Sur la figure, l'écart maximal entre $f_{n}$ et $f$ vaut $0, 25$ pour une demi-largeur de tube de $0, 45$ .</div>

Définition 7.1Convergence simple et Norme infinie

Soit $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $I \subset R$ à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

$(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si :

$\forall x \in I, n \to + \infty lim f_{n} (x) = f (x) .$

Pour toute fonction bornée $g : I \to K$ , sa norme infinie (ou norme de la convergence uniforme) est :

$∥ g ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ g (x) ∣.$

$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si :

$∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to + \infty 0.$

Définition 7.2Convergence uniforme et normale d'une série de fonctions

Soit $\sum u_{n}$ une série de fonctions définies sur $I$ .

$\sum u_{n}$ converge simplement sur $I$ si pour tout $x \in I$ , la série numérique $\sum u_{n} (x)$ converge. On note $S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} (x)$ sa somme et $R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k} (x)$ son reste.
$\sum u_{n}$ converge uniformément sur $I$ si la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$ converge uniformément sur $I$ , ce qui équivaut à :

$∥ R_{n} ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ R_{n} (x) ∣ n \to + \infty 0.$

$\sum u_{n}$ converge normalement sur $I$ si chaque $u_{n}$ est bornée sur $I$ et la série numérique $\sum ∥ u_{n} ∥_{\infty}$ converge :

$n = 0 \sum + \infty ∥ u_{n} ∥_{\infty} = n = 0 \sum + \infty x \in I sup ∣ u_{n} (x) ∣ < + \infty.$

◆Théorème 7.3Hiérarchie fondamentale des convergences

Pour une série de fonctions $\sum u_{n}$ sur $I$ :

$Convergence Normale ⟹ Convergence Uniforme ⟹ Convergence Simple .$

La convergence normale entraîne de plus la convergence absolue en tout point de $I$ — mais la convergence uniforme, elle, ne l'entraîne pas : la série $\sum (- 1)^{n} / n$ de fonctions constantes, reprise ci-dessous, converge uniformément sans converger absolument en aucun point.

Important

Les deux implications sont strictes, et chacune a son contre-exemple de référence.

Uniforme sans être normale : prenons la série de fonctions constantes $u_{n} (x) = (- 1)^{n} / n$ . Alors $∥ u_{n} ∥_{\infty} = 1/ n$ et $\sum 1/ n$ diverge, donc la convergence n'est pas normale ; pourtant la série converge, vers $- ln 2$ , et uniformément puisque son reste ne dépend pas de $x$ .

Simple sans être uniforme : la suite $f_{n} (x) = x^{n}$ sur $[0, 1]$ , déjà citée en introduction. Sa limite vaut $0$ sur $[0, 1 [$ et $1$ en $1$ , et $sup_{[0, 1 [} ∣ x^{n} - 0∣ = 1$ pour tout $n$ : l'écart ne tend pas vers zéro, alors qu'il tend vers zéro en chaque point pris isolément.

Méthode : Étudier la convergence d'une suite ou d'une série de fonctions

Commencer par la convergence simple, à $x$ fixé : c'est un calcul de limite de suite numérique, et il fournit la fonction limite $f$ , sans laquelle rien d'autre ne peut être écrit.
Pour l'uniformité, calculer $sup_{I} ∣ f_{n} - f ∣$ en étudiant les variations de $f_{n} - f$ — ce qui demande de dériver — et vérifier que ce supremum tend vers $0$ .
Pour réfuter l'uniformité, une seule suite suffit : exhiber des points $x_{n}$ tels que $f_{n} (x_{n}) - f (x_{n})$ ne tende pas vers $0$ . Avec $x^{n}$ , le choix $x_{n} = 1 - 1/ n$ donne $(1 - 1/ n)^{n} \to e^{- 1} \neq = 0$ .
Pour une série, tenter d'abord la convergence normale : majorer $∣ u_{n} (x) ∣$ par un $a_{n}$ indépendant de $x$ et étudier $\sum a_{n}$ . Si elle converge, tout est acquis d'un coup.
Si la convergence normale échoue, il reste l'uniforme, à établir en majorant le reste $∥ R_{n} ∥_{\infty}$ — c'est le cas des séries alternées, où le théorème spécial donne $∣ R_{n} (x) ∣ \leq ∣ u_{n + 1} (x) ∣$ .

7.3 Théorèmes d'Interversion et Régularité

Les théorèmes qui suivent ont tous la même forme : sous une hypothèse de convergence uniforme ou normale, on a le droit d'échanger deux opérations. Échanger une limite et une limite, une limite et une intégrale, une limite et une dérivée. Sans cette hypothèse, l'échange est faux — et il faut se rappeler que la suite $x^{n}$ , dont chaque terme est continu et dont la limite ne l'est pas, suffit à ruiner le premier des trois.

Un mot sur une formulation récurrente : plusieurs de ces énoncés ne réclament la convergence uniforme que sur tout segment de l'intervalle, ce qui est bien plus faible que sur l'intervalle entier. La raison est que la continuité, comme la dérivabilité, est une propriété locale : pour la démontrer en un point, il suffit de disposer de l'hypothèse sur un voisinage compact de ce point. Cette nuance sauve quantité d'exercices où la convergence uniforme globale est fausse.

7.3.1 Continuité et Théorème de la Double Limite

◆Théorème 7.4Continuité de la limite et de la somme

Soit $I$ un intervalle de $R$ .

Si $(f_{n})_{n \in N}$ est une suite de fonctions continues sur $I$ qui converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ .
Si $\sum u_{n}$ est une série de fonctions continues sur $I$ qui converge normalement (ou uniformément) sur tout segment de $I$ , alors sa somme $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est continue sur $I$ .

◆Théorème 7.5Théorème de la double limite

Soit $(f_{n})$ convergeant uniformément vers $f$ sur $I$ , et $x_{0} \in I ˉ$ . Si pour tout $n \in N$ , $lim_{x \to x_{0}} f_{n} (x) = ℓ_{n} \in K$ , alors :

La suite $(ℓ_{n})_{n \in N}$ converge vers une limite $ℓ \in K$ .
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ$ , ce qui s'écrit :

$x \to x_{0} lim (n \to + \infty lim f_{n} (x)) = n \to + \infty lim (x \to x_{0} lim f_{n} (x)) .$

7.3.2 Intégration sur un Segment

Le théorème de la double limite est le prototype des trois : il autorise à intervertir deux passages à la limite, l'un sur $n$ , l'autre sur $x$ . Les deux qui suivent en sont les versions où la seconde opération est une intégration, puis une dérivation.

◆Théorème 7.6Théorème d'intégration terme à terme sur un segment

Soit $[a, b]$ un segment de $R$ .

Si $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ , alors :

$n \to + \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (t) d t = \int_{a}^{b} (n \to + \infty lim f_{n} (t)) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Si $\sum u_{n}$ converge uniformément sur $[a, b]$ , alors :

$n = 0 \sum + \infty \int_{a}^{b} u_{n} (t) d t = \int_{a}^{b} (n = 0 \sum + \infty u_{n} (t)) d t .$

7.3.3 Dérivation Terme à Terme et Régularité $C^{k}$

L'hypothèse porte ici sur un segment, et le mot n'est pas ornemental : l'interversion de la limite et de l'intégrale peut échouer sur un intervalle non borné, même sous convergence uniforme. Les fonctions $f_{n} = \frac{1}{n} 1_{[0, n]}$ convergent uniformément vers $0$ sur $[0, + \infty [$ — leur supremum vaut $1/ n$ — et pourtant leur intégrale vaut $1$ pour tout $n$ : l'aire s'échappe vers l'infini au lieu de disparaître. Le chapitre sur l'intégration des intervalles quelconques y répondra par une hypothèse d'un autre type, la domination.

◆Théorème 7.7Théorème de dérivation terme à terme

C^{1}

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions de classe $C^{1}$ sur $I$ . Supposons que :

Il existe au moins un point $x_{0} \in I$ tel que la suite numérique $(f_{n} (x_{0}))_{n \in N}$ converge.
La suite des dérivées $(f_{n}^{'})_{n \in N}$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $g$ .

Alors $(f_{n})$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $f$ de classe $C^{1}$ sur $I$ , et :

$f^{'} = n \to + \infty lim f_{n}^{'} = g ⟺ (n \to + \infty lim f_{n})^{'} = n \to + \infty lim f_{n}^{'} .$

Pour une série de fonctions $\sum u_{n}$ de classe $C^{1}$ , si $\sum u_{n} (x_{0})$ converge et $\sum u_{n}^{'}$ converge uniformément sur tout segment de $I$ , alors $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est de classe $C^{1}$ et $S^{'} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{'}$ .

Important

Ce théorème est le seul du chapitre dont l'hypothèse de convergence uniforme porte sur les dérivées et non sur les fonctions elles-mêmes ; pour la suite $(f_{n})$ , la convergence simple en un seul point suffit. C'est une dissymétrie qu'on oublie, et le contre-exemple montre qu'elle est nécessaire : la suite $f_{n} (x) = sin (n x) / n$ converge uniformément vers $0$ , puisque $∥ f_{n} ∥_{\infty} = 1/ n$ , mais $f_{n}^{'} (x) = cos (n x)$ ne converge nulle part — elle vaut $1$ en $0$ et $- 1$ en $π / n$ pour tout $n$ . La limite est dérivable, mais sa dérivée n'est pas la limite des dérivées.

Autrement dit : la convergence uniforme se transmet bien à l'intégration, qui lisse, et mal à la dérivation, qui amplifie les oscillations.

Méthode : Appliquer le théorème de dérivation terme à terme

Vérifier que chaque $u_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur l'intervalle.
Établir la convergence simple de $\sum u_{n}$ en un point, souvent le plus simple de l'intervalle — c'est tout ce qu'on demande à la série elle-même.
Établir la convergence normale de $\sum u_{n}^{'}$ sur tout segment : c'est l'étape qui porte la démonstration, et celle qu'il faut soigner.
Conclure que la somme est $C^{1}$ et que $S^{'} = \sum u_{n}^{'}$ . Le théorème se réapplique ensuite pour obtenir $C^{k}$ , en itérant sur les dérivées successives.

7.4 Approximation Uniforme par des Polynômes

Le théorème de Weierstrass affirme quelque chose de surprenant : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes. Aussi irrégulière soit-elle — pourvu qu'elle soit continue —, on peut l'approcher d'aussi près qu'on veut, et uniformément, par des objets aussi simples que des polynômes.

Important

« Sur un segment » est indispensable. Sur $R$ tout entier, l'énoncé est faux : un polynôme non constant tend vers l'infini, il ne peut pas approcher uniformément une fonction bornée. Et l'approximation est uniforme, non « par les polynômes de Taylor » — la suite qui converge n'est pas celle des sommes partielles d'une série entière, et la fonction approchée n'a aucune raison d'être développable.

◆Théorème 7.8Théorème d'Approximation de Weierstrass

Pour toute fonction $f : [a, b] \to R$ continue sur un segment $[a, b]$ , il existe une suite de polynômes $(P_{n})_{n \in N} \in R [X]^{N}$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ :

$n \to + \infty lim ∥ P_{n} - f ∥_{\infty} = 0.$

L'espace $R [X]$ des polynômes est donc dense dans $(C^{0} ([a, b], R), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ .

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Suites et Séries de Fonctions

7.1 Introduction et vue d'ensemble

7.2 Modes de Convergence

7.2.1 Convergence Simple, Uniforme et Normale

Méthode : Étudier la convergence d'une suite ou d'une série de fonctions

7.3 Théorèmes d'Interversion et Régularité

7.3.1 Continuité et Théorème de la Double Limite

7.3.2 Intégration sur un Segment

7.3.3 Dérivation Terme à Terme et Régularité Ck

Méthode : Appliquer le théorème de dérivation terme à terme

7.4 Approximation Uniforme par des Polynômes

7.3.3 Dérivation Terme à Terme et Régularité $C^{k}$