Suites et Séries de Fonctions

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 7 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La suite de fonctions x puissance n sur [0, 1] : la limite simple est discontinue en 1.

7.1 Introduction et vue d'ensemble

Pour une suite de nombres, il n'y a qu'une façon de converger. Pour une suite de fonctions, il y en a plusieurs, et c'est tout l'objet du chapitre. La convergence simple ne regarde qu'un point à la fois ; la convergence uniforme exige que la vitesse soit la même partout ; la convergence normale majore terme à terme et implique les deux autres.

Cette hiérarchie n'est pas une subtilité de vocabulaire : elle décide de ce qu'on a le droit d'échanger. La limite d'une suite de fonctions continues n'est continue que si la convergence est uniforme — la suite $x^{n}$ sur $[0, 1]$ , continue à chaque rang et de limite discontinue, le montre en une ligne. Il en va de même pour l'interversion avec l'intégrale ou la dérivée, et chaque théorème du chapitre précise laquelle des trois convergences il réclame, et sur quel ensemble.

Le passage de l'analyse ponctuelle à l'analyse fonctionnelle nécessite de contrôler la vitesse de convergence globale d'une suite ou série de fonctions sur un intervalle $I$ . La notion de convergence simple étant insuffisante pour préserver la continuité ou autoriser l'interversion des limites, de l'intégration et de la dérivation, la théorie introduit les modes fondamentaux de convergence uniforme et de convergence normale.

7.2 Modes de Convergence

7.2.1 Convergence Simple, Uniforme et Normale

Les trois modes ne mesurent pas la même chose, et c'est ce qu'il faut retenir avant les formules. La convergence simple interroge chaque point séparément, sans se soucier de savoir si le rang à partir duquel l'écart devient petit dépend du point. La convergence uniforme exige au contraire un rang qui convienne partout à la fois : c'est le « tube » de la figure ci-dessous, dans lequel toutes les $f_{n}$ finissent par tenir. La convergence normale, enfin, ne concerne que les séries et ramène tout à une série numérique — ce qui en fait, en pratique, la seule qu'on vérifie directement.

Figure : Le tube de la convergence uniforme. À partir d'un certain rang, toutes

les fonctions $f_{n}$ tiennent dans la bande $[f - ε, f + ε]$ , et ce rang ne dépend pas du point considéré : c'est exactement ce que la convergence simple n'exige pas. Sur la figure, l'écart maximal entre $f_{n}$ et $f$ vaut $0, 25$ pour une

demi-largeur de tube de

0, 45

Définition 7.1Convergence simple et Norme infinie

Soit $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $I \subset R$ à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

$(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si :

$\forall x \in I, n \to + \infty lim f_{n} (x) = f (x) .$

Pour toute fonction bornée $g : I \to K$ , sa norme infinie (ou norme de la convergence uniforme) est :

$∥ g ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ g (x) ∣.$

$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si :

$∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to + \infty 0.$

Définition 7.2Convergence uniforme et normale d'une série de fonctions

Soit $\sum u_{n}$ une série de fonctions définies sur $I$ .

$\sum u_{n}$ converge simplement sur $I$ si pour tout $x \in I$ , la série numérique $\sum u_{n} (x)$ converge. On note $S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} (x)$ sa somme et $R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k} (x)$ son reste.
$\sum u_{n}$ converge uniformément sur $I$ si la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$ converge uniformément sur $I$ , ce qui équivaut à :

$∥ R_{n} ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ R_{n} (x) ∣ n \to + \infty 0.$

$\sum u_{n}$ converge normalement sur $I$ si chaque $u_{n}$ est bornée sur $I$ et la série numérique $\sum ∥ u_{n} ∥_{\infty}$ converge :

$n = 0 \sum + \infty ∥ u_{n} ∥_{\infty} = n = 0 \sum + \infty x \in I sup ∣ u_{n} (x) ∣ < + \infty.$

Exercices du chapitre

Le contre-exemple fondateur corrigé
Convergence normale corrigé
La bosse glissante corrigé
Étude d'une somme — régularité et limites corrigé
Dérivation terme à terme corrigé
Comportement de Σ e^-nx au voisinage de 0 corrigé

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