Séries Entières

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 8 · CPGE PSI (2e année)

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8.1 Introduction et vue d'ensemble

Les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ forment le pont naturel entre les polynômes et l'analyse complexe/réelle. Elles permettent de représenter des fonctions non polynomiales sous forme de sommes infinies de puissances, jouissant d'une régularité $C^{\infty}$ remarquable à l'intérieur de leur disque ouvert de convergence. Elles constituent l'outil privilégié pour la résolution exacte des équations différentielles de la physique (Bessel, Legendre, Airy, Hermite) et le calcul des fonctions génératrices en probabilités.

8.2 Rayon de Convergence et Lemme d'Abel

8.2.1 Le Lemme Fondamental d'Abel

Tout le chapitre repose sur le lemme qui suit, et il faut mesurer combien son hypothèse est faible. On ne suppose pas que la série converge en $z_{0}$ : on suppose seulement que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée — ce qui est bien moins exigeant. De cette information ponctuelle, en un seul complexe, on déduit la convergence absolue en tous les points strictement plus proches de l'origine. Une série entière ne peut donc pas converger ici et diverger là de manière désordonnée : son domaine de convergence est un disque, et un seul nombre le décrit.

◆Théorème 8.1Lemme d'Abel

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière ( $a_{n} \in C, z \in C$ ). S'il existe un complexe non nul $z_{0} \neq = 0$ tel que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})_{n \in N}$ soit bornée, alors pour tout complexe $z \in C$ vérifiant $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

La série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.
La série de fonctions $\sum a_{n} z^{n}$ converge normalement sur tout disque fermé $D ˉ (0, r)$ pour $0 \leq r < ∣ z_{0} ∣$ .

Démonstration

Puisque $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée, il existe $M \geq 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

$∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n}, avec q = \frac{z}{z _{0}} < 1.$

Comme $0 \leq q < 1$ , la série géométrique $\sum M q^{n}$ converge. Par comparaison, $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ converge.

8.2.2 Rayon de Convergence et Calcul Pratique

La démonstration tient en une idée : on écrit $a_{n} z^{n} = (a_{n} z_{0}^{n}) \times (z / z_{0})^{n}$ , on borne le premier facteur par hypothèse, et il reste une série géométrique de raison $∣ z / z_{0} ∣ < 1$ . C'est la comparaison géométrique qui fait tout le travail, et c'est elle qui explique la convergence normale sur tout disque fermé $D ˉ (0, r)$ avec $r < ∣ z_{0} ∣$ : la raison $r /∣ z_{0} ∣$ y est fixée une fois pour toutes, indépendamment du point.

Figure : Le disque de convergence dans

C

. Il suffit que la suite

$(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée en un seul point $z_{0}$ pour que la série converge absolument partout à l'intérieur du disque de rayon $∣ z_{0} ∣$ ; le rayon $R$ est la borne supérieure des $∣ z_{0} ∣$ possibles. Sur le cercle lui-même, tracé en pointillés, le lemme ne dit rien.</div>

Définition 8.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est l'élément $R \in [0, + \infty]$ défini par :

$R = sup {r \geq 0 ∣ (a_{n} r^{n})_{n \in N} est born e ˊ e} = sup {∣ z ∣ ∣ \sum a_{n} z^{n} converge} .$

Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < R$ , la série $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ > R$ , la série $\sum a_{n} z^{n}$ diverge grossièrement ( $a_{n} z^{n} \neq \to 0$ ).
Pour $∣ z ∣ = R$ , on doit étudier la série au cas par cas.

Des trois régions que la définition distingue, la troisième est la seule qui résiste, et « au cas par cas » mérite d'être pris au pied de la lettre.

Important

Le cercle $∣ z ∣ = R$ échappe à toute règle générale, et trois séries de rayon $1$ le montrent. Pour $\sum z^{n}$ , le terme général est de module $1$ sur tout le cercle : la série y diverge en chaque point. Pour $\sum z^{n} / n^{2}$ , la comparaison à $\sum 1/ n^{2}$ donne la convergence absolue en chaque point. Pour $\sum z^{n} / n$ , enfin, la série diverge en $z = 1$ — c'est la série harmonique — et converge en tout autre point du cercle, $z = - 1$ compris. Trois séries de même rayon, trois comportements différents au bord : le rayon ne dit rien de ce qui s'y passe.

◆Théorème 8.3Règle de d'Alembert pour le Rayon de Convergence

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ telle que $a_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang. Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ℓ \in [0, + \infty]$ , alors :

$R = \frac{1}{ℓ} (avec la convention \frac{1}{0} = + \infty et \frac{1}{+ \infty} = 0) .$

Important

Deux précautions sur cette règle, dont la seconde est un piège classique. D'abord, le quotient porte sur les coefficients $a_{n}$ , jamais sur les termes $a_{n} z^{n}$ : on ne fait pas apparaître $z$ . Ensuite, la règle exige que $a_{n}$ soit non nul à partir d'un certain rang, et elle est donc inapplicable aux séries lacunaires, celles dont une infinité de coefficients s'annulent — $\sum z^{2 n}$ , $\sum z^{n^{2}}$ , ou la série en $x^{3 p}$ de l'exercice d'Airy qui clôt le chapitre. Le réflexe est alors de poser $u = z^{k}$ et de traiter la série en $u$ : si celle-ci a pour rayon $ρ$ , la série en $z$ a pour rayon $ρ^{1/ k}$ .

Deux règles de comparaison complètent l'arsenal et évitent bien des calculs : si $a_{n} = O (b_{n})$ alors $R_{a} \geq R_{b}$ , et si $a_{n} \sim b_{n}$ les deux rayons sont égaux. Un équivalent simple du coefficient suffit donc souvent à conclure.

Méthode : Calculer un rayon de convergence

Coefficients tous non nuls, avec factorielles ou puissances : règle de d'Alembert sur $∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣$ .
Coefficients à trous : substituer $u = z^{k}$ , calculer le rayon en $u$ , puis prendre la racine $k$ -ième.
Coefficient compliqué : en chercher un équivalent, les rayons sont alors égaux.
En dernier recours, revenir à la définition : un $r$ pour lequel $(a_{n} r^{n})$ est bornée donne $R \geq r$ ; un $r$ pour lequel elle ne l'est pas donne $R \leq r$ .

8.2.3 Opérations sur les Séries Entières

Deux séries entières se combinent comme des polynômes, à ceci près qu'il faut surveiller le rayon. Le théorème suivant est ce qui autorise, dans les exercices, à sommer et à multiplier deux développements connus pour en obtenir un troisième.

◆Théorème 8.4Somme et produit de Cauchy

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ de rayons respectifs $R_{a}$ et $R_{b}$ .

La série somme $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ a un rayon $R \geq min (R_{a}, R_{b})$ , avec égalité dès que $R_{a} \neq = R_{b}$ .
Le produit de Cauchy $\sum c_{n} z^{n}$ , où $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , a un rayon $R \geq min (R_{a}, R_{b})$ , et sur le disque ouvert commun :

$(n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n}) (n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n}) = n = 0 \sum + \infty c_{n} z^{n} .$

L'inégalité peut être stricte quand $R_{a} = R_{b}$ , par simple compensation : $\sum z^{n}$ et $\sum (- z^{n})$ ont toutes deux pour rayon $1$ , et leur somme est la série nulle, de rayon infini. Noter aussi que le produit de Cauchy est ici toujours licite à l'intérieur du disque, sans hypothèse supplémentaire — parce que la convergence y est absolue, ce qui est précisément l'hypothèse réclamée au chapitre des séries numériques.

8.3 Propriétés de la Somme d'une Série Entière Réelle

Une série entière fait bien mieux que converger : à l'intérieur de son disque, sa somme est de classe $C^{\infty}$ , et on la dérive ou l'intègre terme à terme sans précaution — le rayon de convergence ne bouge pas. C'est une propriété très forte, que les séries de fonctions quelconques n'ont pas : elle tient à la convergence normale sur tout compact du disque ouvert.

Important

Tout se joue sur l'ouvert. Au bord du disque, rien n'est garanti : la série peut converger en un point et diverger en un autre du même cercle, et la somme peut cesser d'être continue. Aucun des théorèmes de cette section ne s'y applique — c'est là que se concentrent les erreurs.

◆Théorème 8.5Régularité

C^{\infty}

et Dérivation Terme à Terme

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière réelle de rayon $R > 0$ . La fonction somme $S :] - R, R [\to R, x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - R, R [$ .

Dérivée : Pour tout $x \in] - R, R [$ , $S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1}$ (la série dérivée a le même rayon $R$ ).
Dérivées successives : Pour tout $k \in N$ :

$S^{(k)} (x) = n = k \sum + \infty \frac{n !}{( n - k )!} a_{n} x^{n - k} (m e ˆ me rayon R) .$

Formule de Taylor : Les coefficients sont donnés par $a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ .
Intégration terme à terme : La primitive s'annulant en 0 est $\int_{0}^{x} S (t) d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ (même rayon $R$ ).

8.4 Formulaire des Développements en Série Entière Usuels

Ce formulaire n'est pas à retenir ligne par ligne : trois développements suffisent, et le reste s'en déduit. De $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ sur $] - 1, 1 [$ viennent, par dérivation, intégration ou substitution, tous les développements rationnels, $ln (1 + x)$ et $arctan x$ . De $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ sur $R$ viennent $cos$ , $sin$ , $cosh$ et $sinh$ par séparation des parties paire et impaire. Le développement de $(1 + x)^{α}$ , enfin, est le seul qui demande un calcul propre, et il redonne les précédents pour $α$ entier.

Important

Le rayon se lit sur la singularité la plus proche de l'origine dans le plan complexe, même pour une fonction réelle : c'est ce qui explique que $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ , qui n'a aucun problème sur $R$ , ait pourtant un rayon égal à $1$ — ses pôles sont en $\pm i$ . Sans ce détour par $C$ , le résultat paraît arbitraire.

Fonction	Développement en Série Entière (DSE)	Rayon $R$
$e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots$	$+ \infty$
$cos x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots$	$+ \infty$
$sin x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$	$+ \infty$
$ch x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots$	$+ \infty$
$sh x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots$	$+ \infty$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$	$1$
$\frac{1}{1 + x}$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} x^{n} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots$	$1$
$ln (1 + x)$	$\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots$	$1$
$arctan x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots$	$1$
$(1 + x)^{α}$	$1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$	$1$ (si $α \in / N$ )

8.4.1 Fonctions Développables en Série Entière

Le formulaire se lit dans un sens : une série entière étant donnée, on reconnaît sa somme. La question inverse est plus délicate — une fonction étant donnée, est-elle la somme d'une série entière ? La notion est employée telle quelle dans l'exercice qui clôt ce chapitre, et il vaut la peine de la définir.

Définition 8.6Fonction développable en série entière

Une fonction $f$ définie au voisinage de $0$ est dite développable en série entière en $0$ s'il existe $r > 0$ et une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon $\geq r$ tels que $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ pour tout $x \in] - r, r [$ . Les coefficients sont alors nécessairement ceux de Taylor, $a_{n} = f^{(n)} (0) / n!$ , et le développement est unique.

Être développable entraîne donc être de classe $C^{\infty}$ . La question naturelle est celle de la réciproque, et la réponse est non.

Important

Une fonction de classe $C^{\infty}$ n'est pas nécessairement développable en série entière. Le contre-exemple à connaître est

$f (x) = e^{- 1/ x^{2}} pour x \neq = 0, f (0) = 0.$

Cette fonction est $C^{\infty}$ sur $R$ et toutes ses dérivées s'annulent en $0$ , parce que $e^{- 1/ x^{2}} = o (x^{n})$ pour tout $n$ — l'exponentielle écrase toute puissance. Sa série de Taylor en $0$ est donc la série nulle, de rayon infini, dont la somme vaut $0$ partout. Or $f (x) > 0$ pour $x \neq = 0$ : la série de Taylor converge, mais pas vers $f$ . Prouver qu'une fonction est développable demande donc toujours autre chose que le calcul de ses dérivées — le plus souvent, un contrôle du reste de Taylor.

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