Séries Entières

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 8 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le disque de convergence d'une série entière, de rayon R : convergence à l'intérieur, divergence à l'extérieur.

8.1 Introduction et vue d'ensemble

Les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ forment le pont naturel entre les polynômes et l'analyse complexe/réelle. Elles permettent de représenter des fonctions non polynomiales sous forme de sommes infinies de puissances, jouissant d'une régularité $C^{\infty}$ remarquable à l'intérieur de leur disque ouvert de convergence. Elles constituent l'outil privilégié pour la résolution exacte des équations différentielles de la physique (Bessel, Legendre, Airy, Hermite) et le calcul des fonctions génératrices en probabilités.

8.2 Rayon de Convergence et Lemme d'Abel

8.2.1 Le Lemme Fondamental d'Abel

Tout le chapitre repose sur le lemme qui suit, et il faut mesurer combien son hypothèse est faible. On ne suppose pas que la série converge en $z_{0}$ : on suppose seulement que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée — ce qui est bien moins exigeant. De cette information ponctuelle, en un seul complexe, on déduit la convergence absolue en tous les points strictement plus proches de l'origine. Une série entière ne peut donc pas converger ici et diverger là de manière désordonnée : son domaine de convergence est un disque, et un seul nombre le décrit.

◆Théorème 8.1Lemme d'Abel

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière ( $a_{n} \in C, z \in C$ ). S'il existe un complexe non nul $z_{0} \neq = 0$ tel que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})_{n \in N}$ soit bornée, alors pour tout complexe $z \in C$ vérifiant $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

La série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.
La série de fonctions $\sum a_{n} z^{n}$ converge normalement sur tout disque fermé $D ˉ (0, r)$ pour $0 \leq r < ∣ z_{0} ∣$ .

Démonstration

Puisque $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée, il existe $M \geq 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

$∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n}, avec q = \frac{z}{z _{0}} < 1.$

Comme $0 \leq q < 1$ , la série géométrique $\sum M q^{n}$ converge. Par comparaison, $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ converge.

8.2.2 Rayon de Convergence et Calcul Pratique

La démonstration tient en une idée : on écrit $a_{n} z^{n} = (a_{n} z_{0}^{n}) \times (z / z_{0})^{n}$ , on borne le premier facteur par hypothèse, et il reste une série géométrique de raison $∣ z / z_{0} ∣ < 1$ . C'est la comparaison géométrique qui fait tout le travail, et c'est elle qui explique la convergence normale sur tout disque fermé $D ˉ (0, r)$ avec $r < ∣ z_{0} ∣$ : la raison $r /∣ z_{0} ∣$ y est fixée une fois pour toutes, indépendamment du point.

Figure : Le disque de convergence dans

C

. Il suffit que la suite

$(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée en un seul point $z_{0}$ pour que la série converge absolument partout à l'intérieur du disque de rayon $∣ z_{0} ∣$ ; le rayon $R$ est la borne supérieure des $∣ z_{0} ∣$ possibles. Sur le cercle lui-même, tracé en pointillés, le lemme

ne dit rien.

Définition 8.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est l'élément $R \in [0, + \infty]$ défini par :

$R = sup {r \geq 0 ∣ (a_{n} r^{n})_{n \in N} est born e ˊ e} = sup {∣ z ∣ ∣ \sum a_{n} z^{n} converge} .$

Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < R$ , la série $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ > R$ , la série $\sum a_{n} z^{n}$ diverge grossièrement ( $a_{n} z^{n} \neq \to 0$ ).
Pour $∣ z ∣ = R$ , on doit étudier la série au cas par cas.

Des trois régions que la définition distingue, la troisième est la seule qui résiste, et « au cas par cas » mérite d'être pris au pied de la lettre.

Important

Le cercle $∣ z ∣ = R$ échappe à toute règle générale, et trois séries de rayon $1$ le montrent. Pour $\sum z^{n}$ , le terme général est de module $1$ sur tout le cercle : la série y diverge en chaque point. Pour $\sum z^{n} / n^{2}$ , la comparaison à $\sum 1/ n^{2}$ donne la convergence absolue en chaque point. Pour $\sum z^{n} / n$ , enfin, la série diverge en $z = 1$ — c'est la série harmonique — et converge en tout autre point du cercle, $z = - 1$ compris. Trois séries de même rayon, trois comportements différents au bord : le rayon ne dit rien de ce qui s'y passe.

Exercices du chapitre

Calculs de rayons corrigé
Produit et dérivation de séries entières corrigé
Développer par une équation différentielle corrigé
La fonction génératrice de Fibonacci corrigé
Série génératrice des nombres de Lucas corrigé
Une série entière nulle en 1/k est nulle corrigé

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