Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres

Cours complet · mathématiques (PSI), chapitre 9 · CPGE PSI (2e année)

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9.1 Introduction et vue d'ensemble

L'intégration sur un intervalle non compact (non borné ou présentant des singularités aux bornes) constitue le cœur de l'analyse moderne en classe de PSI / PSI*. Deux outils magistraux dominent ce domaine :

Le Théorème de Convergence Dominée (TCD) de Lebesgue, qui résout de manière universelle les passages à la limite sous le signe intégral.
Les théorèmes de régularité pour les intégrales dépendant d'un paramètre (continuité et dérivation de Leibniz), qui donnent accès aux grandes fonctions définies par une intégrale : la fonction $Γ$ d'Euler, étudiée en fin de chapitre, et l'intégrale de Gauss, calculée en exercice.

Le mot le plus important du chapitre est intégrable, et il ne signifie pas « dont l'intégrale converge ». Une fonction est intégrable lorsque sa valeur absolue a une intégrale finie ; c'est une exigence strictement plus forte, et toute la théorie — comparaison, convergence dominée, dérivation sous le signe intégral — repose sur elle. La première section installe cette notion et l'outillage qui permet de décider, en pratique, si une intégrale « existe ». Les deux suivantes exploitent cette base pour intervertir une limite et une intégrale : une limite de suite avec le théorème de convergence dominée, une limite en un paramètre continu avec les théorèmes de continuité et de dérivation.

Un fil conducteur les relie : dans les trois cas, l'interversion n'est jamais gratuite, elle se paie d'une hypothèse de domination — l'existence d'un « toit » intégrable, indépendant de $n$ ou de $x$ , sous lequel toutes les fonctions de la famille restent confinées.

9.2 Intégrabilité sur un Intervalle Quelconque

Sur un segment $[a, b]$ , toute fonction continue par morceaux est intégrable : la question ne se pose pas. Elle se pose dès que l'intervalle cesse d'être compact, soit parce qu'il est non borné, soit parce que la fonction explose au voisinage d'une borne. Le programme traite les deux cas d'un seul geste, en définissant l'intégrabilité par une majoration uniforme des intégrales sur les segments.

9.2.1 Définition Fondamentale et Espace $L^{1} (I)$

Définition 9.1Fonction intégrable / sommable

Soit $I$ un intervalle quelconque de $R$ et $f : I \to K$ ( $K = R$ ou $C$ ) continue par morceaux sur $I$ .

Si $f \geq 0$ , $f$ est dite intégrable sur $I$ si pour tout segment $[a, b] \subset I$ , la quantité $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est majorée par une constante indépendante de $a$ et $b$ . Dans ce cas, l'intégrale $\int_{I} f (t) d t = sup_{[a, b] \subset I} \int_{a}^{b} f (t) d t < + \infty$ .
Dans le cas général, $f$ est dite intégrable sur $I$ si la fonction positive $∣ f ∣$ est intégrable sur $I$ :

$\int_{I} ∣ f (t) ∣ d t < + \infty.$

L'ensemble des fonctions intégrables sur $I$ forme un $K$ -espace vectoriel noté $L^{1} (I, K)$ .

Important« Intégrable » n'est pas « intégrale convergente »

Deux énoncés voisins qu'il ne faut jamais confondre.

L'intégrale de $f$ converge sur $[a, b [$ si $\int_{a}^{x} f (t) d t$ admet une limite finie quand $x \to b^{-}$ . C'est une convergence simple.
$f$ est intégrable sur $[a, b [$ si $\int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t < + \infty$ . C'est une convergence absolue.

L'intégrabilité entraîne la convergence ; la réciproque est fausse. Le contre-exemple canonique est l'intégrale de Dirichlet :

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t = \frac{π}{2} converge, alors que \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t = + \infty.$

On dit que cette intégrale est semi-convergente. La fonction $t \mapsto \frac{s i n t}{t}$ n'appartient donc pas à $L^{1} (] 0, + \infty [)$ , et aucun théorème de ce chapitre — comparaison, convergence dominée, Leibniz — ne s'applique à elle. C'est la raison pour laquelle un énoncé de concours qui la fait intervenir passe toujours par un détour : intégration par parties, ou introduction d'un paramètre qui rend l'intégrale absolument convergente.

9.2.2 Intégrales de Référence (Riemann et Bertrand)

◆Théorème 9.2Intégrales de Riemann de référence

Au voisinage de $+ \infty$ : $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .
Au voisinage de $0^{+}$ : $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{α}}$ converge si et seulement si $α < 1$ .
Au voisinage d'un point fini $a$ : $\int_{a}^{b} \frac{d t}{( t - a ) ^{α}}$ converge si et seulement si $α < 1$ .

Figure : L'asymétrie des intégrales de Riemann. La même puissance donne des verdicts

opposés selon la borne examinée : $\int_{0}^{1} d t / t = 2$ est finie tandis que $\int_{1}^{+ \infty} d t / t$ diverge, et symétriquement $\int_{1}^{+ \infty} d t / t^{2} = 1$ est finie tandis que $\int_{0}^{1} d t / t^{2}$ diverge. Près de $0$ , c'est la hauteur de la fonction qui menace l'aire, et une grande valeur de $α$ l'aggrave ; à l'infini, c'est la longueur de l'intervalle, et une grande valeur de $α$ la compense.</div>

L'inversion du sens de l'inégalité entre les deux premiers cas est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle n'a pourtant rien de mystérieux : en $0$ , c'est la hauteur de la fonction qui menace l'intégrale, et une grande valeur de $α$ la rend plus haute donc plus dangereuse ; à l'infini, c'est la longueur de l'intervalle, et une grande valeur de $α$ fait décroître la fonction plus vite, donc la rend inoffensive. Le cas $α = 1$ est exclu des deux côtés : $t \mapsto 1/ t$ n'est intégrable ni au voisinage de $0$ , ni au voisinage de $+ \infty$ .

◆Théorème 9.3Règles de comparaison pour les fonctions positives

Soient $f, g : I \to R^{+}$ continues par morceaux sur $I$ .

Inégalité : Si $f \leq g$ , alors $g \in L^{1} (I) ⟹ f \in L^{1} (I)$ .
Équivalence : Si $f \sim g$ au voisinage d'une borne non compacte, alors $f$ et $g$ sont de même nature d'intégrabilité au voisinage de cette borne.
Négligeabilité : Si $f = o (g)$ , alors $g \in L^{1} (I) ⟹ f \in L^{1} (I)$ .

ImportantLes intégrales de Bertrand

Elles ne figurent pas au programme comme résultat de cours, mais tout sujet qui les fait apparaître en demande la justification, et elles se traitent par les règles de comparaison ci-dessus. Pour $α, β \in R$ :

$\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α} ( ln t ) ^{β}} converge ⟺ (α > 1) ou (α = 1 et β > 1),$

$\int_{0}^{1/2} \frac{d t}{t ^{α} ∣ ln t ∣ ^{β}} converge ⟺ (α < 1) ou (α = 1 et β > 1) .$

La lecture est simple : le logarithme ne tranche que dans le cas limite $α = 1$ , là où la puissance de $t$ ne décide plus. Pour $α > 1$ , on retrouve le résultat en comparant à $1/ t^{γ}$ avec $1 < γ < α$ ; pour $α = 1$ , le changement de variable $u = ln t$ ramène à une intégrale de Riemann en $u$ .

Méthode : Décider si une intégrale existe

La démarche est toujours la même, et elle est mécanique.

Repérer les bornes fautives : celles où $f$ n'est pas définie, où elle n'est pas bornée, et les bornes infinies. Une intégrale peut en avoir plusieurs — $\int_{0}^{+ \infty}$ en a souvent deux.
Découper l'intervalle de sorte que chaque morceau ne contienne qu'une seule borne fautive : par exemple $] 0, + \infty [=] 0, 1] \cup [1, + \infty [$ . L'intégrale existe si et seulement si elle existe sur chaque morceau.
Chercher un équivalent de $∣ f ∣$ au voisinage de chaque borne fautive, et le comparer à une intégrale de Riemann. C'est ici que sert l'équivalence : elle conserve la nature.
Conclure par la règle de comparaison, en énonçant explicitement la positivité — les théorèmes de comparaison sont faux sans elle, et un correcteur le vérifie.

Piège : un équivalent ne suffit que pour des fonctions de signe constant au voisinage de la borne. Pour une fonction oscillante, on majore $∣ f ∣$ ou l'on revient à la définition.

9.3 Le Théorème de Convergence Dominée (TCD)

Le problème est celui-ci : on connaît une suite d'intégrales $\int_{I} f_{n}$ , on sait vers quoi les $f_{n}$ convergent, et l'on voudrait conclure que les intégrales convergent vers l'intégrale de la limite. Autrement dit, on voudrait écrire $lim \int = \int lim$ . Ce n'est pas licite en général — la section suivante en donne un contre-exemple d'une simplicité brutale — et le théorème de Lebesgue dit exactement ce qu'il faut ajouter pour que ça le devienne.

L'avantage décisif du TCD sur les théorèmes de première année est qu'il ne demande aucune convergence uniforme. La convergence simple suffit, à condition de produire la dominante.

◆Théorème 9.4Théorème de Convergence Dominée de Lebesgue

Soit $I$ un intervalle quelconque de $R$ . Soit $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $K$ . Supposons que :

Convergence simple : La suite $(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$ .
Hypothèse de Domination : Il existe une fonction $φ : I \to R^{+}$ , continue par morceaux et intégrable sur $I$ ( $φ \in L^{1} (I)$ ), telle que :

$\forall n \in N, \forall t \in I, ∣ f_{n} (t) ∣ \leq φ (t) .$

Alors la fonction limite $f$ est intégrable sur $I$ , et :

$n \to + \infty lim \int_{I} f_{n} (t) d t = \int_{I} f (t) d t = \int_{I} (n \to + \infty lim f_{n} (t)) d t .$

Figure : L'hypothèse de domination : toutes les fonctions de la suite restent sous un

même toit $φ$ , qui ne dépend pas de $n$ et dont l'aire est finie. Ici $φ (t) = 3/ (1 + t^{2})$ , d'intégrale $3 π /2$ sur $[0, + \infty [$ , et $f_{n} (t) = 2, 2 e^{- t} (1 + \frac{1}{2 n} sin 5 t)$ , dont l'oscillation s'amortit quand $n$ croît. Le théorème conclut que l'aire sous $f_{n}$ tend vers l'aire sous $f$ ; aucune convergence uniforme n'est requise.</div>

Chacune des trois exigences a un rôle distinct, et il vaut la peine de les séparer. La convergence simple désigne la fonction limite $f$ — sans elle, il n'y a pas de candidat. L'hypothèse de continuité par morceaux de $f$ est propre au cadre du programme : la théorie de Lebesgue s'en passe, mais ici l'intégrale n'est définie que pour de telles fonctions, et il faut donc la vérifier (elle est en général immédiate).

La domination, elle, est la seule qui soit véritablement une hypothèse. Deux points la gouvernent, et ce sont les deux endroits où les copies se perdent : la fonction $φ$ doit être indépendante de $n$ , et elle doit être intégrable. Une majoration $∣ f_{n} (t) ∣ \leq φ_{n} (t)$ ne sert à rien, et une majoration par une constante $M$ ne sert à rien non plus si $I$ n'est pas borné — la fonction constante $M$ n'est pas intégrable sur $R$ .

Figure : Ce que la domination interdit. La suite

f_{n} = n \cdot 1_{] 0, 1/ n]}

converge simplement vers la fonction nulle, puisque tout $t > 0$ finit par sortir du support ; mais $\int f_{n} = 1$ pour tout $n$ , alors que $\int lim f_{n} = 0$ . L'interversion est donc fausse, et elle l'est parce qu'aucune dominante intégrable n'existe : une majorante commune devrait vérifier $φ (t) \geq sup_{n} f_{n} (t)$ , or ce supremum est de l'ordre de $1/ t$ au voisinage de $0$ , dont l'intégrale diverge.</div>

ImportantCe que la domination empêche

Le contre-exemple ci-dessus montre où passe l'énergie quand la domination manque : la suite converge simplement vers $0$ , mais chaque $f_{n}$ transporte une aire égale à $1$ sur un support de plus en plus étroit. La limite ne voit rien de cette aire, qui « s'échappe » vers l'origine sans jamais disparaître.

Aucune dominante intégrable ne peut exister ici, et l'on peut le dire précisément : pour $t \in] 0, 1]$ , toute majorante commune $φ$ doit vérifier $φ (t) \geq sup_{n} f_{n} (t)$ , or ce supremum vaut sensiblement $1/ t$ , dont l'intégrale diverge en $0$ . La domination est donc bien l'obstruction, et non une précaution rédactionnelle.

◆Théorème 9.5Théorème d'Intégration Terme à Terme pour les Séries de Fonctions

Soit $\sum u_{n}$ une série de fonctions continues par morceaux sur $I$ . Supposons que :

$\sum u_{n}$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $S$ continue par morceaux.
Chaque $u_{n}$ est intégrable sur $I$ , et la série numérique des intégrales des valeurs absolues converge :

$n = 0 \sum + \infty \int_{I} ∣ u_{n} (t) ∣ d t < + \infty.$

Alors la somme $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est intégrable sur $I$ , et :

$\int_{I} (n = 0 \sum + \infty u_{n} (t)) d t = n = 0 \sum + \infty \int_{I} u_{n} (t) d t .$

Ce second théorème est le pendant du TCD pour les séries, et l'on remarquera que son hypothèse d'interversion n'est pas la convergence de $\sum \int_{I} u_{n}$ , mais celle de $\sum \int_{I} ∣ u_{n} ∣$ — encore une convergence absolue, encore le même prix à payer. C'est aussi ce qui le distingue d'une simple application du TCD aux sommes partielles : la domination y serait à produire, alors qu'elle est ici remplacée par une condition qui se vérifie terme à terme, souvent d'un simple calcul.

L'usage le plus rentable aux concours consiste à développer une fonction en série géométrique puis à intervertir, ce qui transforme une intégrale en une série numérique que l'on sait sommer. C'est ainsi que l'on obtient, par exemple, $\int_{0}^{1} \frac{l n t}{t - 1} d t = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

9.4 Intégrales Dépendant d'un Paramètre

On passe ici d'une limite discrète à une limite continue : la fonction à intégrer dépend d'un paramètre réel $x$ , et l'objet d'étude n'est plus une suite de nombres mais une fonction $F (x) = \int_{I} f (x, t) d t$ , dont on veut établir la continuité puis la dérivabilité. La structure des énoncés est exactement celle du TCD, à une nuance près, essentielle en pratique : la domination n'est plus demandée sur $A$ tout entier, mais sur chaque segment $[a, b] \subset A$ , avec le droit de changer de dominante d'un segment à l'autre.

Cet assouplissement n'est pas une faiblesse de l'énoncé, c'est une conséquence du fait que la continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales : pour établir que $F$ est continue en un point, il suffit de la contrôler sur un voisinage de ce point. Et il est fréquent qu'aucune dominante globale n'existe alors que les dominantes locales sont immédiates — c'est le cas de la fonction $Γ$ ci-dessous, pour laquelle le facteur $t^{x - 1}$ n'est majorable qu'une fois $x$ borné.

9.4.1 Continuité sous Domination Locale

◆Théorème 9.6Théorème de Continuité sous le Signe Intégral

Soit $A$ un intervalle de $R$ et $I$ un intervalle quelconque de $R$ . Soit $f : A \times I \to K, (x, t) \mapsto f (x, t)$ . Supposons que :

Pour tout $x \in A$ , la fonction $t \mapsto f (x, t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ .
Pour tout $t \in I$ , la fonction $x \mapsto f (x, t)$ est continue sur $A$ .
Hypothèse de Domination locale : Pour tout segment $[a, b] \subset A$ , il existe $φ_{[a, b]} \in L^{1} (I, R^{+})$ telle que :

$\forall x \in [a, b], \forall t \in I, ∣ f (x, t) ∣ \leq φ_{[a, b]} (t) .$

Alors la fonction $F : A \to K$ définie par $F (x) = \int_{I} f (x, t) d t$ est continue sur $A$ .

On notera que ce théorème contient l'intégrabilité de $t \mapsto f (x, t)$ pour chaque $x$ dans ses hypothèses : c'est ce qui garantit que $F$ est bien définie avant qu'on ne parle de sa continuité. Établir le domaine de définition de $F$ est donc toujours la première question, et elle se traite avec les outils de la première section, non avec ceux-ci.

9.4.2 Dérivation sous le Signe Intégral (Formule de Leibniz)

◆Théorème 9.7Théorème de Dérivation sous le Signe Intégral

C^{1}

Soit $f : A \times I \to K, (x, t) \mapsto f (x, t)$ . Supposons que :

Pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f (x, t)$ est intégrable sur $I$ .
La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe sur $A \times I$ ; pour tout $x \in A$ , $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x} (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ , et pour tout $t \in I$ , $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x} (x, t)$ est continue sur $A$ .
Hypothèse de Domination locale de la dérivée : Pour tout segment $[a, b] \subset A$ , il existe $ψ_{[a, b]} \in L^{1} (I, R^{+})$ telle que :

$\forall x \in [a, b], \forall t \in I, \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) \leq ψ_{[a, b]} (t) .$

Alors $F (x) = \int_{I} f (x, t) d t$ est de classe $C^{1}$ sur $A$ , et :

$\forall x \in A, F^{'} (x) = \int_{I} \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) d t .$

Méthode : Étudier une fonction définie par une intégrale à paramètre

Domaine de définition : à $x$ fixé, étudier l'intégrabilité de $t \mapsto f (x, t)$ par comparaison. C'est un exercice de la section « Intégrabilité sur un intervalle quelconque », et il délivre l'intervalle $A$ .
Continuité : vérifier les deux hypothèses de régularité (en $t$ à $x$ fixé, en $x$ à $t$ fixé), puis chercher la dominante sur un segment $[a, b] \subset A$ quelconque. La rédaction attendue commence par « Soit $[a, b] \subset A$ » et se termine par « ceci vaut pour tout segment, donc $F$ est continue sur $A$ ».
Dérivabilité : recommencer avec $\frac{\partial f}{\partial x}$ et une nouvelle dominante $ψ_{[a, b]}$ . Rien n'oblige les deux dominantes à se ressembler.
Exploitation : le calcul explicite de $F^{'}$ conduit presque toujours à une équation différentielle ou à une relation fonctionnelle, que l'on résout et dont on fixe la constante par une valeur particulière ou une limite. L'exercice de l'intégrale de Gauss, plus bas, suit exactement ce plan.

9.4.3 L'Exemple Canonique : la Fonction $Γ$ d'Euler

Tout ce qui précède se lit sur un unique exemple, qui est aussi le plus demandé aux concours.

Définition 9.8Fonction Gamma d'Euler

Pour $x > 0$ , on pose

$Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t .$

Domaine de définition. L'intégrale a deux bornes fautives. En $0^{+}$ , $t^{x - 1} e^{- t} \sim t^{x - 1}$ , intégrale de Riemann convergente si et seulement si $1 - x < 1$ , c'est-à-dire $x > 0$ . En $+ \infty$ , $t^{x - 1} e^{- t} = o (1/ t^{2})$ par croissances comparées, quel que soit $x$ . La fonction $Γ$ est donc définie exactement sur $] 0, + \infty [$ .

Continuité. Soit $[a, b] \subset] 0, + \infty [$ avec $0 < a \leq b$ . Pour tout $x \in [a, b]$ et tout $t > 0$ ,

$t^{x - 1} e^{- t} \leq φ_{[a, b]} (t) = {t^{a - 1} e^{- t} t^{b - 1} e^{- t} si 0 < t \leq 1, si t > 1,$

car $t \mapsto t^{x - 1}$ est croissante en $x$ pour $t > 1$ et décroissante pour $t < 1$ . Cette dominante est intégrable par l'étude précédente, et elle dépend manifestement du segment : il n'existe aucune dominante globale, puisqu'une telle fonction devrait majorer $t^{x - 1} e^{- t}$ pour des $x$ arbitrairement grands. C'est l'exemple qui justifie que le théorème demande une domination locale.

Proposition 9.9Relation fonctionnelle et factorielle

Pour tout $x > 0$ , on a $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ . Comme $Γ (1) = 1$ , il vient par récurrence

$\forall n \in N, Γ (n + 1) = n! .$

Démonstration

Une intégration par parties sur $[ε, A] \subset] 0, + \infty [$ avec $u (t) = t^{x}$ et $v^{'} (t) = e^{- t}$ donne

$\int_{ε}^{A} t^{x} e^{- t} d t = [- t^{x} e^{- t}]_{ε}^{A} + x \int_{ε}^{A} t^{x - 1} e^{- t} d t .$

Le crochet tend vers $0$ quand $ε \to 0^{+}$ (car $x > 0$ ) et quand $A \to + \infty$ (croissances comparées), d'où $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ . Enfin $Γ (1) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1$ .

La fonction $Γ$ prolonge donc la factorielle aux réels strictement positifs. Le même schéma — domination locale, puis relation fonctionnelle obtenue par intégration par parties ou par dérivation sous le signe intégral — gouverne toutes les fonctions définies par une intégrale à paramètre, à commencer par la transformée de Laplace $p \mapsto \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- pt} d t$ , qui n'est rien d'autre qu'une intégrale à paramètre étudiée sur son domaine de convergence.

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