Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 9 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

9.1 Introduction et vue d'ensemble

L'intégration sur un intervalle non compact (non borné ou présentant des singularités aux bornes) constitue le cœur de l'analyse moderne en classe de PSI / PSI*. Deux outils magistraux dominent ce domaine :

Le Théorème de Convergence Dominée (TCD) de Lebesgue, qui résout de manière universelle les passages à la limite sous le signe intégral.
Les théorèmes de régularité pour les intégrales dépendant d'un paramètre (continuité et dérivation de Leibniz), qui donnent accès aux grandes fonctions définies par une intégrale : la fonction $Γ$ d'Euler, étudiée en fin de chapitre, et l'intégrale de Gauss, calculée en exercice.

Le mot le plus important du chapitre est intégrable, et il ne signifie pas « dont l'intégrale converge ». Une fonction est intégrable lorsque sa valeur absolue a une intégrale finie ; c'est une exigence strictement plus forte, et toute la théorie — comparaison, convergence dominée, dérivation sous le signe intégral — repose sur elle. La première section installe cette notion et l'outillage qui permet de décider, en pratique, si une intégrale « existe ». Les deux suivantes exploitent cette base pour intervertir une limite et une intégrale : une limite de suite avec le théorème de convergence dominée, une limite en un paramètre continu avec les théorèmes de continuité et de dérivation.

Un fil conducteur les relie : dans les trois cas, l'interversion n'est jamais gratuite, elle se paie d'une hypothèse de domination — l'existence d'un « toit » intégrable, indépendant de $n$ ou de $x$ , sous lequel toutes les fonctions de la famille restent confinées.

9.2 Intégrabilité sur un Intervalle Quelconque

Sur un segment $[a, b]$ , toute fonction continue par morceaux est intégrable : la question ne se pose pas. Elle se pose dès que l'intervalle cesse d'être compact, soit parce qu'il est non borné, soit parce que la fonction explose au voisinage d'une borne. Le programme traite les deux cas d'un seul geste, en définissant l'intégrabilité par une majoration uniforme des intégrales sur les segments.

9.2.1 Définition Fondamentale et Espace $L^{1} (I)$

Définition 9.1Fonction intégrable / sommable

Soit $I$ un intervalle quelconque de $R$ et $f : I \to K$ ( $K = R$ ou $C$ ) continue par morceaux sur $I$ .

Si $f \geq 0$ , $f$ est dite intégrable sur $I$ si pour tout segment $[a, b] \subset I$ , la quantité $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est majorée par une constante indépendante de $a$ et $b$ . Dans ce cas, l'intégrale $\int_{I} f (t) d t = sup_{[a, b] \subset I} \int_{a}^{b} f (t) d t < + \infty$ .
Dans le cas général, $f$ est dite intégrable sur $I$ si la fonction positive $∣ f ∣$ est intégrable sur $I$ :

$\int_{I} ∣ f (t) ∣ d t < + \infty.$

L'ensemble des fonctions intégrables sur $I$ forme un $K$ -espace vectoriel noté $L^{1} (I, K)$ .

Important« Intégrable » n'est pas « intégrale convergente »

Deux énoncés voisins qu'il ne faut jamais confondre.

L'intégrale de $f$ converge sur $[a, b [$ si $\int_{a}^{x} f (t) d t$ admet une limite finie quand $x \to b^{-}$ . C'est une convergence simple.
$f$ est intégrable sur $[a, b [$ si $\int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t < + \infty$ . C'est une convergence absolue.

L'intégrabilité entraîne la convergence ; la réciproque est fausse. Le contre-exemple canonique est l'intégrale de Dirichlet :

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t = \frac{π}{2} converge, alors que \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} d t = + \infty.$

On dit que cette intégrale est semi-convergente. La fonction $t \mapsto \frac{s i n t}{t}$ n'appartient donc pas à $L^{1} (] 0, + \infty [)$ , et aucun théorème de ce chapitre — comparaison, convergence dominée, Leibniz — ne s'applique à elle. C'est la raison pour laquelle un énoncé de concours qui la fait intervenir passe toujours par un détour : intégration par parties, ou introduction d'un paramètre qui rend l'intégrale absolument convergente.

9.2.2 Intégrales de Référence (Riemann et Bertrand)

◆Théorème 9.2Intégrales de Riemann de référence

Au voisinage de $+ \infty$ : $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .
Au voisinage de $0^{+}$ : $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{α}}$ converge si et seulement si $α < 1$ .
Au voisinage d'un point fini $a$ : $\int_{a}^{b} \frac{d t}{( t - a ) ^{α}}$ converge si et seulement si $α < 1$ .

Figure : L'asymétrie des intégrales de Riemann. La même puissance donne des verdicts

opposés selon la borne examinée : $\int_{0}^{1} d t / t = 2$ est finie tandis que $\int_{1}^{+ \infty} d t / t$ diverge, et symétriquement $\int_{1}^{+ \infty} d t / t^{2} = 1$ est finie tandis que $\int_{0}^{1} d t / t^{2}$ diverge. Près de $0$ , c'est la hauteur de la fonction qui menace l'aire, et une grande valeur de $α$ l'aggrave ; à l'infini, c'est la longueur de l'intervalle, et une grande

valeur de

α

la compense.

L'inversion du sens de l'inégalité entre les deux premiers cas est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle n'a pourtant rien de mystérieux : en $0$ , c'est la hauteur de la fonction qui menace l'intégrale, et une grande valeur de $α$ la rend plus haute donc plus dangereuse ; à l'infini, c'est la longueur de l'intervalle, et une grande valeur de $α$ fait décroître la fonction plus vite, donc la rend inoffensive. Le cas $α = 1$ est exclu des deux côtés : $t \mapsto 1/ t$ n'est intégrable ni au voisinage de $0$ , ni au voisinage de $+ \infty$ .

◆Théorème 9.3Règles de comparaison pour les fonctions positives

Soient $f, g : I \to R^{+}$ continues par morceaux sur $I$ .

Inégalité : Si $f \leq g$ , alors $g \in L^{1} (I) ⟹ f \in L^{1} (I)$ .
Équivalence : Si $f \sim g$ au voisinage d'une borne non compacte, alors $f$ et $g$ sont de même nature d'intégrabilité au voisinage de cette borne.
Négligeabilité : Si $f = o (g)$ , alors $g \in L^{1} (I) ⟹ f \in L^{1} (I)$ .

Exercices du chapitre

L'échelle de Riemann complète corrigé
Deux calculs directs corrigé
Intégrabilité par comparaison corrigé
Les factorielles par récurrence corrigé
Un changement de variable qui fait tout corrigé
La limite du binôme — convergence dominée corrigé

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