Dans ℝ³ canonique, soit F le plan d'équation x + 2y - z = 0.

Espaces Préhilbertiens et Espaces Euclidiens · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{3}$ canonique, soit $F$ le plan d'équation $x + 2 y - z = 0$ . Déterminer $F^{⊥}$ , la projection orthogonale de $a = (1, 1, 1)$ sur $F$ , et $d (a, F)$ ( $F^{⊥} = Vect (1, 2, - 1)$ — on projette sur la droite ; $p_{F} (a) = \frac{1}{3} (2, 1, 4)$ et $d (a, F) = \frac{6}{3}$ ; contrôle : $∥ p_{F} (a) ∥^{2} + d^{2} = \frac{21}{9} + \frac{6}{9} = 3 = ∥ a ∥^{2}$ ).

Corrigé

Orthogonal de $F$ . Avec $n = (1, 2, - 1)$ , l'équation de $F$ s'écrit $⟨ x, n ⟩ = 0$ , donc $F = Vect (n)^{⊥}$ . En dimension finie, $F^{⊥} = (Vect (n)^{⊥})^{⊥} = Vect (n)$ .

Projection. Il est plus simple de projeter sur la droite $F^{⊥}$ , puis de retrancher : $p_{F^{⊥}} (a) = \frac{⟨ a , n ⟩}{∥ n ∥ ^{2}} n = \frac{1 + 2 - 1}{6} (1, 2, - 1) = \frac{1}{3} (1, 2, - 1),$ $p_{F} (a) = a - p_{F^{⊥}} (a) = (1, 1, 1) - \frac{1}{3} (1, 2, - 1) = \frac{1}{3} (2, 1, 4) .$ Vérification : $\frac{1}{3} (2 + 2 - 4) = 0$ , donc $p_{F} (a) \in F$ .

Distance. $d (a, F) = ∥ a - p_{F} (a) ∥ = \frac{1}{3} (1, 2, - 1) = \frac{6}{3}$ , ce qui est aussi $\frac{∣ ⟨ a , n ⟩ ∣}{∥ n ∥} = \frac{2}{6}$ .

Contrôle par Pythagore. $∥ p_{F} (a) ∥^{2} = \frac{4 + 1 + 16}{9} = \frac{21}{9}$ et $d (a, F)^{2} = \frac{6}{9}$ : leur somme vaut $\frac{27}{9} = 3 = ∥ a ∥^{2}$ .

Dans ℝ³ canonique, soit F le plan d'équation x + 2y - z = 0.

Énoncé

Corrigé

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