Diagonaliser en base orthonormée

Les trois matrices sont symétriques réelles : le théorème spectral garantit une base orthonormée de vecteurs propres, et des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Il suffit donc de normer un vecteur propre par valeur propre.

1) $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_A=(X-3)(X+1)$, $E_3=\mathrm{Vect}(1,1)$, $E_{-1}=\mathrm{Vect}(1,-1)$. Avec $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R}),P^{\top }AP=\mathrm{diag}(3,-1).$$

2) $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ : ${\chi }_B=X^2-1$, $E_1=\mathrm{Vect}(1,1)$, $E_{-1}=\mathrm{Vect}(1,-1)$. La même matrice $P$ donne $P^{\top }BP=\mathrm{diag}(1,-1)$ ; $B$ est la réflexion d'axe la droite $y=x$.

3) $C=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$ : ${\chi }_C=X^2-7X+6=(X-1)(X-6)$. Pour $\lambda =1$, on résout $4x-2y=0$, d'où $E_1=\mathrm{Vect}(1,2)$ ; pour $\lambda =6$, on résout $-x-2y=0$, d'où $E_6=\mathrm{Vect}(2,-1)$. Ces deux vecteurs sont bien orthogonaux, de norme $\sqrt{5}$, et $$Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R}),Q^{\top }CQ=\mathrm{diag}(1,6).$$

Contrôles : les traces ($2$, $0$, $7$) et les déterminants ($-3$, $-1$, $6$) sont bien la somme et le produit des valeurs propres trouvées.