Inégalité de Bessel et meilleure approximation affine

1. La famille étant orthonormale, elle est libre (proposition du cours), donc c'est une base orthonormale de $F$, et $p_F(x)={\sum }_{i=1}^p⟨x,e_i⟩e_i$. La proposition « tout se calcule en base orthonormée » donne $\Vert p_F(x){\Vert }^2={\sum }_{i=1}^p⟨x,e_i{⟩}^2$, et le théorème de la meilleure approximation : $$\Vert x{\Vert }^2=\Vert p_F(x){\Vert }^2+\Vert x-p_F(x){\Vert }^2\ge \Vert p_F(x){\Vert }^2=\sum _{i=1}^p⟨x,e_i{⟩}^2.$$ L'égalité équivaut à $\Vert x-p_F(x)\Vert =0$, c'est-à-dire $x=p_F(x)$, c'est-à-dire $x\in F$. Le défaut dans l'inégalité de Bessel est exactement le carré de la distance à $F$ : $\Vert x{\Vert }^2-\sum ⟨x,e_i{⟩}^2=d(x,F{)}^2$. C'est cette lecture qui rend l'inégalité utile.

2. Sur $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $⟨P,Q⟩={\int }_0^{1}PQ$, la quantité à minimiser est $\Vert X^2-y{\Vert }^2$ pour $y$ parcourant $F={\mathbb{R}}_1[X]$ : c'est $d(X^2,{\mathbb{R}}_1[X]{)}^2$, et le minimum est atteint en l'unique point $y=p_F(X^2)$.

Base orthonormale de $F$ par Gram-Schmidt sur $(1,X)$ : $\Vert 1{\Vert }^2=1$ donc $e_0=1$ ; puis $⟨X,e_0⟩=\frac{1}{2}$, $v_1=X-\frac{1}{2}$, $\Vert v_1{\Vert }^2={\int }_0^1{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{12}$, d'où $e_1=\sqrt{12}\left(X-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}(2X-1)$.

Coefficients : $⟨X^2,e_0⟩={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3}$ et $$⟨X^2,e_1⟩=\sqrt{3}{\int }_0^1\left(2t^3-t^2\right)\mathrm{d}t=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$ Distance (variante économique du cours, qui évite d'écrire la projection) : $$d(X^2,F{)}^2=\Vert X^2{\Vert }^2-⟨X^2,e_0{⟩}^2-⟨X^2,e_1{⟩}^2=\frac{1}{5}-\frac{1}{9}-\frac{1}{12}=\frac{36-20-15}{180}=\frac{1}{180}.$$ Point où le minimum est atteint : $p_F(X^2)=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}\sqrt{3}(2X-1)=\frac{1}{3}+X-\frac{1}{2}=X-\frac{1}{6}$, soit $(a,b)=\left(-\frac{1}{6},1\right)$ — et ce couple est le seul, par unicité de la projection orthogonale. $$\boxed{\underset{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2}{\min }{\int }_0^1{\left(t^2-a-bt\right)}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{180}\approx 5,56\times 10^{-3},\text{atteint en }(a,b)=\left(-\frac{1}{6},1\right).}$$ Contrôle chiffré par le calcul direct, sans aucune projection : $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\left(t^2-t+\frac{1}{6}\right)}^2\mathrm{d}t& ={\int }_0^1\left(t^4-2t^3+\frac{4}{3}{t}^2-\frac{1}{3}t+\frac{1}{36}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{4}{9}-\frac{1}{6}+\frac{1}{36}=\frac{36-90+80-30+5}{180}=\frac{1}{180}✓\end{array}$$ (C'est la régression au sens des moindres carrés : la meilleure droite approchant $t\mapsto t^2$ sur $[0,1]$ est $t-\frac{1}{6}$, obtenue sans dériver quoi que ce soit — un problème de minimisation résolu par une somme de produits scalaires.)