La décomposition polaire d'une matrice inversible

Stratégie. C'est la transposition matricielle de l'écriture polaire $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }r$ d'un nombre complexe non nul : l'isométrie $\Omega$ joue le rôle du facteur de module $1$, la matrice symétrique définie positive $S$ celui du module $r>0$. Le facteur $S$ n'est pas libre : la relation $M=\Omega S$ impose ${}^{t}MM=S{}^t\Omega \Omega S=S^2$. On construit donc $S$ comme racine carrée de ${}^{t}MM$, puis on pose $\Omega =M{S}^{-1}$ et l'on vérifie.

1. ${}^{t}MM$ est symétrique définie positive. Notons $G={}^{t}MM$.

• Symétrique : ${}^{t}G={}^{t}M{}^t({}^{t}M)={}^{t}MM=G$.
• Positive : pour $X\in {\mathbb{R}}^n$, ${}^{t}XGX={}^{t}X{}^{t}MMX={}^t(MX)(MX)=\Vert MX{\Vert }^2\ge 0$.
• Définie : si ${}^{t}XGX=0$, alors $\Vert MX\Vert =0$, donc $MX=0$, donc $X=0$ puisque $M$ est inversible. C'est le seul endroit où l'hypothèse $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ sert.

Donc $G\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, et son spectre est contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ (caractérisation spectrale du cours).

2. La racine carrée. Théorème spectral : $G=P\mathrm{diag}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n){}^{t}P$ avec $P\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mu }_i>0$. Posons $$S=P\mathrm{diag}(\sqrt{{\mu }_1},\dots ,\sqrt{{\mu }_n}){}^{t}P.$$ Alors ${}^{t}S=S$, le spectre de $S$ est $\{\sqrt{{\mu }_i}\}\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ donc $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, et $S^2=P\mathrm{diag}({\mu }_i){}^{t}P=G$. Enfin $S$ est inversible, d'inverse $S^{-1}=P\mathrm{diag}(1/\sqrt{{\mu }_i}){}^{t}P$, lui aussi symétrique.

3. Le facteur orthogonal. Posons $\Omega =M{S}^{-1}$. Alors $${}^t\Omega \Omega ={}^t\left(M{S}^{-1}\right)M{S}^{-1}={}^t(S^{-1}){}^{t}MM{S}^{-1}=S^{-1}G{S}^{-1}=S^{-1}{S}^2{S}^{-1}=I_n,$$ en utilisant ${}^t(S^{-1})=S^{-1}$. Donc $\Omega \in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, et par construction $$\boxed{M=\Omega S,\Omega \in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R}),S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R}).}$$

4. L'unicité. Elle repose sur celle de la racine carrée dans ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ ; voici l'argument complet. Supposons $M=\Omega S={\Omega }^{\prime }{S}^{\prime }$ avec $\Omega ,{\Omega }^{\prime }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et $S,S^{\prime }\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. En transposant et multipliant, ${}^{t}MM=S{}^t\Omega \Omega S=S^2$, et de même ${}^{t}MM=S^{\prime 2}$ : les deux facteurs symétriques ont même carré $G$. Or la matrice $S$ construite au point 2 est un polynôme en $G$ : en prenant le polynôme interpolateur $Q$ de Lagrange tel que $Q({\mu }_i)=\sqrt{{\mu }_i}$ pour chaque valeur propre distincte, on a $Q(G)=P\mathrm{diag}(Q({\mu }_i)){}^{t}P=S$. Comme $S^{\prime }$ commute avec $G=S^{\prime 2}$, elle commute donc avec $Q(G)=S$. Deux matrices symétriques réelles qui commutent sont codiagonalisables en base orthonormée : dans une base commune, $S$ et $S^{\prime }$ sont diagonales à coefficients $>0$ et de mêmes carrés, donc égales. D'où $S=S^{\prime }$, puis $\Omega =M{S}^{-1}={\Omega }^{\prime }$.

5. Lecture géométrique. Toute transformation inversible de ${\mathbb{R}}^n$ est donc une dilatation symétrique — $S$ dilate d'un facteur $\sqrt{{\mu }_i}>0$ selon $n$ directions deux à deux orthogonales — suivie d'une isométrie. En particulier, l'image de la sphère unité par $M$ est l'image par $\Omega$ de l'ellipsoïde de demi-axes $\sqrt{{\mu }_i}$ : c'est encore un ellipsoïde, et l'on vient de démontrer que $|\det M|={\prod }_i\sqrt{{\mu }_i}$, le volume étant multiplié par ce produit.

Contrôle chiffré. Prenons $$M=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right),\det M=2\ne 0.$$ Alors $${}^{t}MM=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right),$$ déjà diagonale, de valeurs propres $1$ et $4$, strictement positives $✓$. Donc $$S=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R}),\Omega =M{S}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$ On vérifie ${}^t\Omega \Omega =I_2$ et $\det \Omega =1$ : $\Omega$ est le quart de tour direct $✓$. Et le produit redonne bien $\Omega S=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=M$ $✓$. Lecture : $M$ étire d'un facteur $2$ selon $e_2$, puis fait tourner d'un quart de tour. Contrôle des volumes : $|\det M|=2=1\times 2=\sqrt{1}\sqrt{4}$ $✓$.

Ce qui est acquis. La matrice de Gram ${}^{t}MM$ est l'objet qui « symétrise » n'importe quelle matrice, et sa racine carrée spectrale en extrait la partie de pure dilatation. C'est le socle de la décomposition en valeurs singulières, omniprésente en calcul scientifique (compression, moindres carrés, conditionnement).