Le théorème spectral en action

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 3 — Espaces Préhilbertiens et Espaces Euclidiens · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Diagonaliser $A = (2112)$ en base orthonormée : écrire $A = P D P^{⊤}$ avec $P \in O_{2} (R)$ .

Corrigé

$A$ est symétrique : le théorème spectral s'applique. Du chapitre 2 : $Sp (A) = {1, 3}$ , $E_{1} = Vect (1, - 1)$ , $E_{3} = Vect (1, 1)$ — orthogonaux, comme prévu. En normalisant les vecteurs propres : $P = \frac{1}{2} (1 - 1 11) \in O_{2} (R), A = P (1003) P^{⊤}$ — plus besoin d'inverser $P$ : $P^{- 1} = P^{⊤}$ , tout le bénéfice de l'orthonormalisation. (Géométriquement : l'ellipse $⟨ A x, x ⟩ = 1$ a ses axes selon $e_{1}, e_{2}$ — la figure du cours.)

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