λ_max vue comme un maximum sur la sphère

Stratégie. Le théorème spectral remplace $A$ par une matrice diagonale dans une base orthonormée : la quantité ${}^{t}XAX$ devient alors une moyenne pondérée des valeurs propres, à poids positifs de somme $1$ sur la sphère unité — d'où la majoration. Et le vecteur propre associé à ${\lambda }_{\max }$ réalise cette borne : le maximum est atteint, exhibé explicitement, sans qu'aucun théorème d'analyse ne soit nécessaire. La sous-additivité en découle en une ligne.

1. Le théorème spectral. $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ : il existe une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de ${\mathbb{R}}^n$ (pour le produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩={}^{t}XY$) formée de vecteurs propres de $A$, $$A{e}_i={\lambda }_i{e}_i,{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n={\lambda }_{\max }(A).$$

2. La forme quadratique dans cette base. Écrivons $X={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i$. L'orthonormalité donne $\Vert X{\Vert }^2={\sum }_i{x}_i^2$ (théorème de Pythagore) et $${}^{t}XAX=⟨X,AX⟩=⟨\sum _i{x}_i{e}_i,\sum _j{\lambda }_j{x}_j{e}_j⟩=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2,$$ les termes croisés disparaissant puisque $⟨e_i,e_j⟩=0$ pour $i\ne j$.

3. La majoration. Pour $\Vert X\Vert =1$, c'est-à-dire ${\sum }_i{x}_i^2=1$ : $${}^{t}XAX=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{\max }{x}_i^2={\lambda }_{\max }\sum _{i=1}^n{x}_i^2={\lambda }_{\max }(A),$$ chaque $x_i^2$ étant positif, ce qui autorise la majoration terme à terme par ${\lambda }_i\le {\lambda }_{\max }$.

4. La borne est atteinte. Le vecteur $e_n$ est unitaire et $${}^t{e}_{n}A{e}_n=⟨e_n,{\lambda }_{\max }{e}_n⟩={\lambda }_{\max }(A).$$ La borne supérieure est donc un maximum, atteint en $e_n$ (et plus généralement en tout vecteur unitaire du sous-espace propre associé à ${\lambda }_{\max }$) : $$\underset{\Vert X\Vert =1}{\max }{}^{t}XAX={\lambda }_{\max }(A).$$ C'est ce point qui rend la suite possible : on ne se contente pas d'une borne supérieure, on dispose d'un vecteur qui la réalise.

5. La sous-additivité de ${\lambda }_{\max }$. Soient $A,B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. Alors $A+B$ est encore symétrique, et le point 4 fournit un vecteur unitaire $X_0$ tel que ${\lambda }_{\max }(A+B)={}^t{X}_0(A+B)X_0$. En développant et en appliquant la majoration du point 3 à chaque terme (licite car $\Vert X_0\Vert =1$) : $${\lambda }_{\max }(A+B)=\underset{\le {\lambda }_{\max }(A)}{\underbrace{{}^t{X}_{0}A{X}_0}}+\underset{\le {\lambda }_{\max }(B)}{\underbrace{{}^t{X}_{0}B{X}_0}}\le {\lambda }_{\max }(A)+{\lambda }_{\max }(B).$$

Point délicat. Les deux maxima du membre de droite sont en général atteints en des vecteurs différents : c'est exactement pour cela que l'inégalité est en général stricte. Elle devient une égalité lorsque $A$ et $B$ possèdent un vecteur propre commun réalisant simultanément les deux maxima.

Contrôles chiffrés.

• Cas d'égalité. $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ a pour spectre $\{1,3\}$, donc ${\lambda }_{\max }(A)=3$ ; $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ a pour spectre $\{-1,1\}$, donc ${\lambda }_{\max }(B)=1$. Alors $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, de trace $4$ et de déterminant $0$ : son spectre est $\{0,4\}$ et ${\lambda }_{\max }(A+B)=4=3+1$. L'inégalité est une égalité — et de fait, $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ est vecteur propre maximal des deux à la fois. $✓$
• Cas strict. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ : ${\lambda }_{\max }(A)={\lambda }_{\max }(B)=1$, mais $A+B=I_2$ donne ${\lambda }_{\max }(A+B)=1<2$. $✓$ Les maxima sont ici atteints en $e_1$ pour $A$ et en $e_2$ pour $B$ : deux directions orthogonales, aucune ne peut servir aux deux.

Ce qui est acquis. Une valeur propre extrême s'exprime comme un problème d'optimisation sur la sphère unité, et un problème d'optimisation se majore terme à terme. C'est le sens du quotient de Rayleigh, et le pont vers le calcul différentiel : le signe de la matrice hessienne d'une fonction en un point critique s'encadre par ses valeurs propres extrêmes.