Orthonormaliser ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) ) dans ℝ³ canonique (on…

On applique le procédé de Gram-Schmidt à $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$, $v_3=(0,1,1)$.

Étape 1. $\Vert v_1\Vert =\sqrt{2}$, donc $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$.

Étape 2. $⟨v_2,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $w_2=v_2-⟨v_2,e_1⟩e_1=(1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=\frac{1}{2}(1,-1,2)$. Comme $\Vert (1,-1,2)\Vert =\sqrt{6}$, on obtient $e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)$.

Étape 3. $⟨v_3,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $⟨v_3,e_2⟩=\frac{-1+2}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$, donc $$w_3=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)-\frac{1}{6}(1,-1,2)=\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}(-1,1,1),$$ et $e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)$.

Contrôle. Les produits scalaires deux à deux sont nuls : $⟨e_1,e_2⟩\propto 1-1+0=0$, $⟨e_1,e_3⟩\propto -1+1+0=0$, $⟨e_2,e_3⟩\propto -1-1+2=0$, et chaque $e_k$ est unitaire. Donc $P=(e_1|e_2|e_3)$ vérifie $P^{\top }P=I_3$ : $P$ est orthogonale. De plus $\mathrm{Vect}(e_1)=\mathrm{Vect}(v_1)$ et $\mathrm{Vect}(e_1,e_2)=\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$, comme le garantit le procédé.