Parmi les applications suivantes de ℝ² × ℝ² dans ℝ, lesquelles sont…

Les quatre applications s'écrivent $\phi (x,y)=x^{\top }Sy$ avec une matrice $S$ symétrique, donc elles sont bilinéaires et symétriques. Il reste à étudier la positivité et le caractère défini, c'est-à-dire le signe de $\phi (x,x)$.

• ${\phi }_1(x,x)=x_1^2+x_2^2\ge 0$, nul seulement si $x=0$ : c'est le produit scalaire canonique. Oui.
• ${\phi }_2(x,x)=x_1^2-x_2^2$ vaut $-1$ en $x=(0,1)$ : ${\phi }_2$ n'est pas positive. Non.
• ${\phi }_3(x,x)=x_1^2+4x_1{x}_2+x_2^2$ vaut $1-4+1=-2$ en $x=(1,-1)$ : pas positive. Non.
• ${\phi }_4(x,x)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2=(x_1+x_2{)}^2+x_2^2\ge 0$, et ${\phi }_4(x,x)=0$ impose $x_2=0$ puis $x_1=-x_2=0$ : définie positive. Oui.

Les produits scalaires sont donc ${\phi }_1$ et ${\phi }_4$.

Contrôle matriciel : ${\phi }_3$ a pour matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, de valeurs propres $3$ et $-1$ (une valeur propre négative, donc pas positive), tandis que ${\phi }_4$ a pour matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, de trace $3$ et de déterminant $1$ : ses deux valeurs propres sont strictement positives.