Positif, défini positif

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PSI), chapitre 3 — Espaces Préhilbertiens et Espaces Euclidiens · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Montrer que $A = (2112) \in S_{2}^{++} (R)$ , de deux façons : par le spectre, puis par la forme quadratique $X^{⊤} A X$ .

Corrigé

Spectre : $A$ symétrique, $Sp (A) = {1, 3} \subset R_{+}^{*}$ : définie positive (caractérisation spectrale).

Forme quadratique : pour $X = (x, y)$ , $X^{⊤} A X = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = x^{2} + (x + y)^{2} + y^{2} > 0 pour (x, y) \neq = (0, 0)$ (forme canonique, première année — la somme de carrés rend la positivité visible). Les deux voies concordent : le spectre est aux formes quadratiques ce que la forme canonique est au trinôme.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.