Sur Mₙ(ℝ), montrer que ⟨ A, B⟩ = Tr (A^⊤B ) est un produit scalaire et…

Produit scalaire. Le coefficient diagonal $(j,j)$ de $A^{\top }B$ vaut ${\sum }_i{a}_{i,j}{b}_{i,j}$, donc $$⟨A,B⟩=\mathrm{Tr}\left(A^{\top }B\right)=\sum _{i,j}{a}_{i,j}{b}_{i,j}.$$ Cette expression est bilinéaire et symétrique ; elle donne $⟨A,A⟩={\sum }_{i,j}{a}_{i,j}^2\ge 0$, avec égalité si et seulement si tous les $a_{i,j}$ sont nuls. C'est donc un produit scalaire : le produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^{n^2}$, quand on range les $n^2$ coefficients en un seul vecteur. On a bien $\Vert A{\Vert }^2={\sum }_{i,j}{a}_{i,j}^2$.

Deux calculs. $\Vert I_n{\Vert }^2=\mathrm{Tr}(I_n)=n$, donc $\Vert I_n\Vert =\sqrt{n}$, et $⟨I_n,A⟩=\mathrm{Tr}(I_{n}A)=\mathrm{tr}A$.

Inégalité. L'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à $I_n$ et $A$ donne $$|\mathrm{tr}A|=|⟨I_n,A⟩|\le \Vert I_n\Vert \Vert A\Vert =\sqrt{n}\Vert A\Vert .$$ Le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz est celui d'une famille liée : comme $I_n\ne 0$, il y a égalité si et seulement si $A=\lambda I_n$ pour un réel $\lambda$, c'est-à-dire si $A$ est scalaire. Vérification : pour $A=\lambda I_n$, $|\mathrm{tr}A|=n|\lambda |$ et $\sqrt{n}\Vert A\Vert =\sqrt{n}\cdot |\lambda |\sqrt{n}=n|\lambda |$.