Une norme est-elle euclidienne ?

1. L'identité du parallélogramme est un test : toute norme euclidienne la vérifie, donc une norme qui la met en défaut n'est euclidienne pour aucun produit scalaire. Prenons $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$ : $\Vert x+y{\Vert }_1=\Vert x-y{\Vert }_1=2$, donc $$\Vert x+y{\Vert }_1^2+\Vert x-y{\Vert }_1^2=4+4=8\text{tandis que}2\left(\Vert x{\Vert }_1^2+\Vert y{\Vert }_1^2\right)=2(1+1)=4.$$ $8\ne 4$ : $\Vert \cdot {\Vert }_1$ n'est pas euclidienne. (Le cours traite $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ avec les mêmes vecteurs — un seul couple bien choisi suffit à disqualifier une norme.)

2. Ici $\Vert f{\Vert }^2={\int }_0^{1}1=1$ et $\Vert g{\Vert }^2={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3}$, tandis que $$\Vert f+g{\Vert }^2={\int }_0^1(1+t{)}^2\mathrm{d}t={\left[\frac{(1+t{)}^3}{3}\right]}_0^1=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3},\Vert f-g{\Vert }^2={\int }_0^1(1-t{)}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3}.$$ Contrôle chiffré : $\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$ et $2\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}$ ✓. Polarisation : $$\frac{1}{4}\left(\Vert f+g{\Vert }^2-\Vert f-g{\Vert }^2\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{7}{3}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}={\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=⟨f,g⟩✓$$ — la norme contient bien tout le produit scalaire, conformément à la lecture du cours : polarisation reconstruit, parallélogramme teste.