Convergence de Σ √u_nu_n+1 et réciproque fausse

Stratégie. Le sens direct est une inégalité entre moyennes, appliquée terme à terme et suivie d'une comparaison de séries positives. Pour la réciproque, il faut fabriquer une suite dont les gros termes ne soient jamais voisins : le produit $u_n{u}_{n+1}$ n'appariera alors jamais deux gros termes, et sa racine restera petite.

Sens direct. Pour $a,b\ge 0$, le développement ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ donne $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, c'est-à-dire l'inégalité arithmético-géométrique $$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}.$$ Appliquée à $a=u_n$ et $b=u_{n+1}$ (positifs par hypothèse) : $$0\le \sqrt{u_n{u}_{n+1}}\le \frac{u_n+u_{n+1}}{2}.$$ Or la série majorante converge : pour tout $N$, $$\sum _{n=0}^N\frac{u_n+u_{n+1}}{2}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^N{u}_n+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{N+1}{u}_n\le \sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n<+\infty ,$$ somme de deux séries convergentes (la seconde est la première, décalée d'un rang). Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ converge.

La réciproque est fausse. Posons, pour $k\ge 0$, $$u_{2k}=1\text{et}{u}_{2k+1}=16^{-k}.$$ Les termes de rang pair valent tous $1$, ceux de rang impair s'effondrent géométriquement.

• $\sum u_n$ diverge, et grossièrement. La suite $(u_n)$ ne tend pas vers $0$ : la sous-suite $(u_{2k})$ est constante égale à $1$. Le terme général ne tendant pas vers $0$, la série diverge grossièrement.

• $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ converge. Calculons les deux cas de parité : $$n=2k:\sqrt{u_{2k}{u}_{2k+1}}=\sqrt{1\cdot 16^{-k}}=4^{-k},$$ $$n=2k+1:\sqrt{u_{2k+1}{u}_{2k+2}}=\sqrt{16^{-k}\cdot 1}=4^{-k}.$$ Chaque valeur $4^{-k}$ apparaît donc exactement deux fois, et la série se somme exactement : $$\sum _{n=0}^{+\infty }\sqrt{u_n{u}_{n+1}}=2\sum _{k=0}^{+\infty }{4}^{-k}=2\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}.$$ C'est une série géométrique de raison $\frac{1}{4}<1$ : elle converge, et l'on connaît même sa somme.

$$\boxed{\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}\text{converge, alors que }\sum u_n\text{diverge : la reˊciproque est fausse.}}$$

Ce que l'exemple exploite. Le produit $u_n{u}_{n+1}$ ne voit jamais deux gros termes de suite. En prenant la racine du produit d'un gros et d'un minuscule, on obtient la moyenne géométrique des deux — et la moyenne géométrique, contrairement à la moyenne arithmétique, est écrasée par le petit facteur : $\sqrt{1\cdot 16^{-k}}=4^{-k}$ tandis que $\frac{1+16^{-k}}{2}\ge \frac{1}{2}$. C'est exactement l'écart entre les deux moyennes que le sens direct majorait, et qu'ici on retourne contre la réciproque.

Le point délicat. L'inégalité $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$ ne s'inverse pas : il n'existe aucune constante $c>0$ telle que $\frac{a+b}{2}\le c\sqrt{ab}$ pour tous $a,b\ge 0$ — il suffit de faire $b\to 0$ à $a$ fixé. C'est très précisément la faille dans laquelle le contre-exemple s'engouffre.

Contrôle numérique. Sur les $60$ premiers indices ($k$ de $0$ à $29$) :

• les termes $\sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ valent $1,1,\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{1}{64},\frac{1}{64},\dots$ — bien deux fois chaque puissance ;
• leur somme calculée vaut $2,6666667$, à comparer à la valeur exacte $\frac{8}{3}=2,6666667$ ✓ ;
• pendant ce temps, ${\sum }_{n<60}{u}_n\ge 30$, puisque trente des soixante termes valent $1$.

On vérifie enfin l'inégalité de départ sur quelques couples : $\sqrt{0,3\times 0,7}=0,4583\le 0,5$, $\sqrt{1\times 16}=4\le 8,5$, $\sqrt{2\times 2}=2\le 2$ (cas d'égalité $a=b$). ✓