d'Alembert aux frontières

d'Alembert avec $u_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n>0$ : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}x=\frac{2(2n+1)}{n+1}x⟶4x.$$ Si $x<\frac{1}{4}$ : convergence ; si $x>\frac{1}{4}$ : divergence grossière. Frontière $x=\frac{1}{4}$ : d'Alembert muet, mais Stirling (première année) donne $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$, d'où $u_n\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ : série de Riemann $\alpha =\frac{1}{2}$ — divergence. Conclusion : convergence exactement pour $x<\frac{1}{4}$. (Le scénario type des séries entières : d'Alembert donne le rayon, l'asymptotique fine décide du bord.)