d'Alembert aux frontières

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PSI), chapitre 6 — Séries Numériques · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Pour quels $x > 0$ la série $n \geq 0 \sum (n 2 n) x^{n}$ converge-t-elle ?

Corrigé

d'Alembert avec $u_{n} = (n 2 n) x^{n} > 0$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} x = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1} x ⟶ 4 x .$ Si $x < \frac{1}{4}$ : convergence ; si $x > \frac{1}{4}$ : divergence grossière. Frontière $x = \frac{1}{4}$ : d'Alembert muet, mais Stirling (première année) donne $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$ , d'où $u_{n} \sim \frac{1}{π n}$ : série de Riemann $α = \frac{1}{2}$ — divergence. Conclusion : convergence exactement pour $x < \frac{1}{4}$ . (Le scénario type des séries entières : d'Alembert donne le rayon, l'asymptotique fine décide du bord.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.