Développement Asymptotique des Nombres Harmoniques et Constante d'Euler

1. Convergence de $u_n$ par série télescopique : Considérons le terme général $v_n=u_n-u_{n-1}=\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n-1}\right)$ pour $n\ge 2$. Par développement limité de $\ln (1+x)$ : $$\ln \left(1+\frac{1}{n-1}\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{2(n-1{)}^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$ Ainsi $v_n=-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$ — le terme en $1/n^3$ est inutile ici, mais indispensable à la question 2, et c'est pourquoi on le garde. Comme $|v_n|\sim \frac{1}{2n^2}$, la série $\sum v_n$ converge absolument (Riemann $\alpha =2>1$). Par télescopage, la suite $u_n=u_1+{\sum }_{k=2}^n{v}_k$ converge vers $\gamma =1+{\sum }_{k=2}^{+\infty }{v}_k$.

2. Développement asymptotique à l'ordre 2 : On a $u_n-\gamma =-{\sum }_{k=n+1}^{+\infty }{v}_k$. L'équivalent $v_k\sim -\frac{1}{2k^2}$ ne suffit pas : il ne donnerait que $\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}$, faux dès le terme d'ordre $2$. Il faut le développement de $v_k$ à l'ordre $3$ obtenu ci-dessus. Avec $$\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right),\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^3}=\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right),$$ il vient $$u_n-\gamma =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}\right)+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{2n}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$ On en déduit le développement fondamental : $$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$