Donner un équivalent du reste de Σ 1/(k² + √k) et des sommes…

On utilise le théorème de sommation des relations d'équivalence pour des séries à termes positifs : dans le cas convergent, les restes sont équivalents ; dans le cas divergent, les sommes partielles le sont.

1) Reste de $\sum \frac{1}{k^2+\sqrt{k}}$. On a $u_k=\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}\sim \frac{1}{k^2}$, termes positifs, et $\sum \frac{1}{k^2}$ converge. Donc $$\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}\sim \sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^2}.$$ Pour ce dernier reste, $\frac{1}{k^2}\sim \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$, dont le reste se calcule par télescopage : ${\sum }_{k=n+1}^{+\infty }\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n}$. Une seconde sommation des équivalents donne ${\sum }_{k>n}\frac{1}{k^2}\sim \frac{1}{n}$, d'où $$\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}\sim \frac{1}{n}.$$

2) Sommes partielles de $\sum \frac{k}{k^2+1}$. On a $v_k=\frac{k}{k^2+1}\sim \frac{1}{k}$, termes positifs, et $\sum \frac{1}{k}$ diverge. Donc $$\sum _{k=1}^n\frac{k}{k^2+1}\sim \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n\sim \ln n.$$

Contrôles numériques : pour $n=1000$, $n\times {\sum }_{k>n}\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}\approx 0,999$, et pour $n=10^6$, le quotient de la somme partielle par $\ln n$ vaut environ $0,993$ (la convergence vers $1$ est lente, l'écart étant d'ordre $1/\ln n$).