Donner un équivalent du reste de Σ 1/k³ (réponse : 1/2n²) et de la…

Reste de $\sum \frac{1}{k^3}$. On note $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^3}$ et l'on utilise la comparaison série-intégrale : $t\mapsto \frac{1}{t^3}$ est positive et décroissante sur $[1,+\infty [$, donc pour $k\ge 2$, $${\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^3}\le \frac{1}{k^3}\le {\int }_{k-1}^k\frac{\mathrm{d}t}{t^3}.$$ En sommant pour $k\ge n+1$ : $$\frac{1}{2(n+1{)}^2}={\int }_{n+1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^3}\le R_n\le {\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^3}=\frac{1}{2n^2}.$$ Les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{2n^2}$, donc $R_n\sim \frac{1}{2n^2}$.

Sommes partielles de $\sum \ln k$. On note $S_n={\sum }_{k=1}^n\ln k=\ln (n!)$. Cette fois $\ln$ est croissante, donc pour $k\ge 2$, ${\int }_{k-1}^k\ln t\mathrm{d}t\le \ln k\le {\int }_k^{k+1}\ln t\mathrm{d}t$. En sommant pour $2\le k\le n$ (et $\ln 1=0$) : $$n\ln n-n+1={\int }_1^n\ln t\mathrm{d}t\le S_n\le {\int }_2^{n+1}\ln t\mathrm{d}t\le (n+1)\ln (n+1)-n.$$ Or $n\ln n-n+1\sim n\ln n$ et $(n+1)\ln (n+1)-n=n\ln n+O(\ln n)+O(1)-n\sim n\ln n$. D'où $\ln (n!)\sim n\ln n$, ce qui est cohérent avec la formule de Stirling : $\ln (n!)=n\ln n-n+O(\ln n)$.

Contrôle numérique : pour $n=1000$, $2n^2{R}_n\approx 0,9990$.