Estimer un reste

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 6 — Séries Numériques · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Montrer que le reste de $k \geq 1 \sum \frac{1}{k ^{2}}$ vérifie $R_{n} \sim \frac{1}{n}$ , et en déduire combien de termes garantissent une approximation de la somme à $1 0^{- 3}$ près.

Corrigé

$t \mapsto \frac{1}{t ^{2}}$ est décroissante : la comparaison série-intégrale donne $\frac{1}{n + 1} = \int_{n + 1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}} \leq R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}} = \frac{1}{n},$ d'où $R_{n} \sim \frac{1}{n}$ (encadrement d'équivalents). Pour $R_{n} \leq 1 0^{- 3}$ : $n = 1000$ termes suffisent (et il en faut essentiellement autant : $R_{n} \geq \frac{1}{n + 1}$ ). Convergence lente — pour calculer $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ efficacement, il faudra accélérer la convergence.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.