La règle de d'Alembert en action

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 6 — Séries Numériques · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Déterminer la nature de : $\sum \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ , $\sum \frac{n !}{1 0 ^{n}}$ , $\sum \frac{1}{n}$ (par d'Alembert ?).

Corrigé

$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2 n ^{2}} \to \frac{1}{2} < 1 : converge; \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{n + 1}{10} \to + \infty : diverge (grossi e ˋ rement) .$ Pour $\sum \frac{1}{n}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{n}{n + 1} \to 1$ — d'Alembert ne conclut pas ; c'est Riemann qui tranche (divergence). (Réflexe : d'Alembert pour les factorielles et les puissances ; Riemann et les équivalents pour le polynomial.)

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